1. Suponha f(x) > 0 para todo x ≠ 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um contraexemplo caso seja falsa.
c) Se existir, é positivo.
Passo 1
Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de limite no ponto e de limites laterais.
A primeira coisa que temos que fazer é relembrar quais é a condição para que digamos que um limite existe em um ponto. Você lembra qual é? Vamos lá! Um limite só existe em um ponto se os limites laterais nesse mesmo ponto forem iguais. Se quisermos usar a notação matemática,
Mas o que significa isso? Significa que ao nos aproximarmos do ponto tanto por valores maiores que ele, pelo lado direito da reta numérica (indicado pela notação ), quanto por valores menores que ele, pelo lado esquerdo da reta numérica (indicado pela notação ), os valores de devem se aproximar de .
Passo 2
Vamos agora analisar a letra a.
Apenas com as informações contidas nela é impossível chegar a uma conclusão. Entretanto, se considerarmos a seguinte função f(x):
Se calcularmos os limites laterais pela direita, veremos que
e pela esquerda,
Então, achamos uma função que atende aos requisitos do enunciado da questão, mas que possui um limite quando x se aproxima de 2. Esse exemplo é suficiente para negar a afirmativa da letra a e, assim, dizemos que a afirmação é FALSA.
Passo 3
Vamos agora para a letra b.
De cara já podemos concluir que a afirmação é FALSA. Mas por que?
Simplesmente porque o enunciado já nos garante que a função tem uma imagem positiva para qualquer valor de x diferente de 2. Isso quer dizer que, para qualquer função que atenda a esse critério, toda vez que calcularmos um limite lateral ele será maior que 0, de forma que é impossível que o limite em algum momento dê -3, que é negativo.
Passo 4
Vamos agora para a letra c.
Nessa questão podemos resgatar o exemplo que usamos para responder a letra a. Assim, temos
Como já vimos, esta função atende a todos as condições impostas pelo enunciado e que
A falta de atenção ao resolver essa questão poderia nos levar a concluir que a afirmação da alternativa c é verdadeira, mas devemos lembrar que 0 não é positivo e nem negativo. Assim, concluímos que a afirmação é FALSA, porque mais uma vez achamos um exemplo que contradiz o que é afirmado no enunciado da alternativa.
Cuidado! No exemplo usado na letra a e na letra c achamos , mas e isso NÃO ESTÁ ERRADO.
O limite não precisa ser obrigatoriamente igual à imagem da função no ponto para que ele exista. Só é preciso que os limites laterais sejam iguais. Preste atenção nisto.
Resposta
a) FALSO
b) FALSO
c) FALSO