UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1, 2021.2 – 6b
Verifique se existem os limites das seguintes funções em .
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função por partes e pediu pra gente verificar se o limite dela existe quando . Como é que a gente pode verificar isso?
Bom, existe um teorema que nos diz que o limite existe se, e somente se, os seus limites laterais também forem iguais, ou seja:
Beleza, então o que gente tem que fazer é calcular esses limites laterais e ver se eles são iguais.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o limite lateral pela esquerda:
Como a nossa função é definida por partes a gente precisa analisar os limites de acordo com o intervalo da função que a gente tá considerando.
O que significa esse limite pela esquerda? Significa que a gente tá calculando o limite para valores de menores do que , valores negativos. E para valores menores que , ou seja, , a função tem a forma:
Beleza, então, o nosso limite fica assim:
Como essa função é contínua, basta a gente substituir o valor em :
Legal, né? Agora vamos ver o limite pela direita.
Passo 3
Calculando o limite pela direita, temos:
E aí, vamos analisar de novo o intervalo. Agora, como o limite vem da direita, a gente tá considerando valores maiores que . Dessa forma, a nossa função tema forma:
Calculando o limite dessa função, nós temos:
Substituindo na função:
Agora percebe que os limite laterais nos deram valores iguais?
E como a gente tinha dito lá no passo , quando isso acontece podemos dizer que o limite existe em .
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉