Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

Teorema de Stokes

Considere a superfície hemisférica (orientada com vetores normais unitários para cima) e o campo . Seja

Onde é o bordo de , orientado no sentido anti-horário (vista de cima).

Usando o Teorema de Stokes, calcule (dica: escolha uma superfície que facilite as contas).

Confira o resultado do item anterior calculando diretamente, ou seja, pela definição de integral de linha.

(obs: )

Passo 1

Letra a)

Bom, primeiro, vamos descobrir quem é . Temos a superfície (que é uma esfera de raio ) cortada pelo plano , o que nos dá uma circunferência de raio no plano :

Passo 2

Beleza, agora, para aplicar Stokes, precisamos de um superfície que tenha como bordo. Bom, vamos usar né? Já que podemos escolher a superfície, por que não usar uma mais simples? Como o disco do plano 0 que contem essa circunferência.

Vamos usar então o disco

Onde

Calculando a normal:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de

Passo 4

Agora, podemos aplicar Stokes (sendo o disco):

Onde é dado por .

Levando para a integral:

Escrevendo o círculo em coordenadas polares:

Passo 5

Letra b)

Agora vamos resolver isso aí pela definição de integral de linha. Vamos começar parametrizando a curva em coordenadas polares com :

Onde .

Agora, derivamos isso aí:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula:

Escrevendo o campo

Nas variáveis da parametrização

Levando tudo para a integral

Usando a relação

Resposta

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