Sejam a curva parametrizada por e um campo vetorial em .

Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de .

Para encontrar o vetor normal, vamos usar a parametrização que o problema nos deu.

Beleza, tem algumas identidades trigonométricas que podemos usar pra salvar a nossa vida, por exemplo.

Substituindo na parametrização que o problema nos deu, vamos ter o seguinte:

Então podemos escolher a seguinte parametrização:

Onde

Está reconhecendo essa parametrização?

Temos cosseno de alguma coisa no e seno de alguma coisa no , isso lembra a parametrização de uma circunferência, mas repara que os caras que multiplicam o seno são diferentes dos caras que multiplicam o cosseno, então temos os eixos da circunferência retorcidos. Isso os diz que essa parada é uma elipse! Olha a parametrização geral da elipse:

Então, temos , , e .

Outra coisa legal de perceber é que os termos dentro do seno e do cosseno estão como ao invés de . Isso faz com que o variando de até faça com que varie de até , formando assim a elipse inteira ;)

Show! Agora podemos calcular o vetor normal.

Como a parametrização da nossa elipse ta com o seno e o cosseno positivos sabemos que estamos percorrendo ela no sentido trigonométrico (anti-horário). Então usando a regra da mão direita dá pra ver que o vetor normal tem que estar no sentido positivo de ! Então ta certinho o que a gente achou.

Voltando para o Teorema de Stokes:

Já vimos que a nossa superfície é algum tipo de elipse e a área da elipse é dada por

Onde e são os semieixos que também já achamos lá em cima.

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