1. Considere a f : R → R dada por f x = x e - x 2 e suas derivadas f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2   e f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2
  1. Obtenha se houver, as assíntotas de f .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos encontrar as assíntotas!

Lembrando que para acharmos as assíntotas verticais, temos que verificar o limite tendendo a pontos que a função não existe. E temos que o domínio da nossa f x são todos os reais. Ou seja, não temos assíntotas verticais.

Já para achar as assíntotas horizontais temos que analisar o nosso limite com x → ± ∞ . Então bora buscar nossas assíntotas horizontais.

Passo 2

Começando por x → + ∞ , vamos montar o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ x e - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 = ∞ ∞

Então, galerinha, caímos em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então, bora aplicar L’Hoptal para achar esse limite!

Derivando em cima e embaixo, ficamos com

lim x → + ∞ ⁡ x e - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 = = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 x e x 2 = 0

Opaaaaa! Temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Galerinha, agora precisaríamos calcular o limite x → - ∞ . Mas repara, que chegaríamos ao mesmo resultado, pois o nosso expoente é um termo ao quadrado. Logo só temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Resposta

  • Assintota horizontal em y = 0 .

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