1. Considere a f : R → R dada por f x = x e - x 2 e suas derivadas f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2   e f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2
  1. Obtenha se houver, as assíntotas de f .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos encontrar as assíntotas!

Lembrando que para acharmos as assíntotas verticais, temos que verificar o limite tendendo a pontos que a função não existe. E temos que o domínio da nossa f x são todos os reais. Ou seja, não temos assíntotas verticais.

Já para achar as assíntotas horizontais temos que analisar o nosso limite com x → ± ∞ . Então bora buscar nossas assíntotas horizontais.

Passo 2

Começando por x → + ∞ , vamos montar o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ x e - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 = ∞ ∞

Então, galerinha, caímos em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então, bora aplicar L’Hoptal para achar esse limite!

Derivando em cima e embaixo, ficamos com

lim x → + ∞ ⁡ x e - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x e x 2 = = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 x e x 2 = 0

Opaaaaa! Temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Galerinha, agora precisaríamos calcular o limite x → - ∞ . Mas repara, que chegaríamos ao mesmo resultado, pois o nosso expoente é um termo ao quadrado. Logo só temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Resposta

  • Assintota horizontal em y = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0