UFES, 2018.1, Lista 4, Q12
12) Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.
Passo 1
Eaii, todo mundo animado pra dar o gás nas questões de assíntotas? Vamo lá!!
A questão está pedindo pra gente determinar as assíntotas verticais e horizontais de . Então vamos relembrar o que é assíntota.
As assíntotas são retas que tangenciam o gráfico em infinitos valores de ou de . Tipo assim, sabe quando você desenha um gráfico e percebe que ele fica se aproximando de zero quando só que nunca alcança o zero mesmo? Temos aí uma assíntota horizontal.
A assíntota vertical é como o gráfico da , que em a função não é definida, mas o gráfico tende a .
Passo 2
Beleza, agora que a gente já sabe o que são assíntotas, bora ver como é que determinamos elas. Temos que dividir em duas partes, primeiro vamos procurar as assíntotas horizontais.
Sempre que queremos calcular assíntotas horizontais precisamos calcular dois limites:
e
Se pelo menos um deles assumir um valor finito, então teremos uma assíntota horizontal. Então, mãos à obra:
Opaa, já temos então uma primeira assíntota horizontal, pois quando , . Ou seja, se aproxima bem muito de , mas nunca assume esse valor. Logo, é assíntota horizontal de .
Vamos pro segundo limite então:
Tá aí, mais uma assíntota horizontal, que também é em . Sacou a ideia das assíntotas horizontais? Vamos para as assíntotas verticais!
Passo 3
Aqui a ideia é procurarmos pontos do domínio da função que podem causar alguma indeterminação matemática. As mais comuns acontecem quando a função é formada por um quociente e para um certo valor de estamos dividindo por zero (o que não pode né?!). Vamos olhar pra .
Não queremos que o denominador seja nulo, então:
Opa, não pode ser igual a 1. Vamos ver então o que ocorre com os limites laterais nesse ponto:
Ou seja, quando , do lado esquerdo o gráfico tende a e do lado direito tende a . Portanto, é, de fato, uma assíntota vertical 😊
Prontinho, descobrimos as assíntotas horizontais e verticais de .
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical: