UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Provas - Teste 9 - AV1 - 2018.1 - Questão 5
Encontre as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função:
Passo 1
Oiiie, tudo bem com você?
O enunciado nos dá a definição da seguinte função
e pede para encontrarmos as assíntotas verticais e horizontais se elas existirem.
Muito bem, mas como fazemos isso? Primeiro, o que são as assíntotas? Elas são retas para as quais a função tende em um limite específico. No caso das assíntotas horizontais, temos que analisar como a função se comporta para valores de muito grandes, ou seja, será que os seguintes limites existem:
se este limite existe e é finito, temos que indica nossa assíntota horizontal! Okay, mas e as assíntotas verticais?
As assíntotas verticais estão relacionadas a valores de nos quais a função não está bem definida. Em nosso caso, o único lugar que poderia causar algum problema é se o denominador de nossa função se anular, ou seja
Encontrando os valores de em que isso acontece, podemos analisar qual o limite da função nestes pontos, se o limite divergir, ou seja
Neste valor de teremos uma assíntota vertical! Belezinha? Vamos tentar usar essas informações para identificar nossa assíntotasnossas assíntotas!
Passo 2
Vamos começar vendo em que pontos nossa função não é bem definida, como discutimos no passo 1, isso apenas acontece quando o denominador da função se anula, ou seja
Ou seja, quando temos que
Sabendo que a função não é bem definida nestes pontos, vamos agora verificar os limites
Substituindo os valores , temos que
Como temos que está a o quadrado, o sinal não importa, e o nosso limite tente à
Note que isso não é uma divisão por , o denominador simplesmente tende a um número muito pequeno, de forma que no limite, a função explode para o infinito. Ou seja, em temos assíntotas verticais! Vamos agora analisar se existem assíntotas horizontais! Vem comigo!
Passo 3
Para as assíntotas horizontais temos que analisar os limites
Novamente, como temos que está ao quadrado, o sinal no limite não importa. Note que quando o denominador se torna um número muito grande, e portanto, a razão se torna um número muito pequeno, ou seja
De forma que quando o valor de cresce tanto para ou temos que a função tende para a reta horizontal , portanto, esta é uma assíntota horizontal! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Temos assíntotas verticais em e assíntotas horizontais em .