Encontre as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função:

f ( x ) = - 4 x 2 - 9 .

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

O enunciado nos dá a definição da seguinte função

f ( x ) = - 4 x 2 - 9 .

e pede para encontrarmos as assíntotas verticais e horizontais se elas existirem.

Muito bem, mas como fazemos isso? Primeiro, o que são as assíntotas? Elas são retas para as quais a função tende em um limite específico. No caso das assíntotas horizontais, temos que analisar como a função se comporta para valores de x muito grandes, ou seja, será que os seguintes limites existem:

l i m x → ± ∞ f ( x ) = L

se este limite existe e é finito, temos que L indica nossa assíntota horizontal! Okay, mas e as assíntotas verticais?

As assíntotas verticais estão relacionadas a valores de x nos quais a função não está bem definida. Em nosso caso, o único lugar que poderia causar algum problema é se o denominador de nossa função se anular, ou seja

x 2 - 9 = 0

Encontrando os valores de x em que isso acontece, podemos analisar qual o limite da função nestes pontos, se o limite divergir, ou seja

l i m x → ? f ( x ) = ± ∞

Neste valor de x teremos uma assíntota vertical! Belezinha? Vamos tentar usar essas informações para identificar nossa assíntotasnossas assíntotas!

Passo 2

Vamos começar vendo em que pontos nossa função não é bem definida, como discutimos no passo 1, isso apenas acontece quando o denominador da função se anula, ou seja

x 2 - 9 = 0

Ou seja, quando temos que

x = ± 9 = ± 3

Sabendo que a função não é bem definida nestes pontos, vamos agora verificar os limites

l i m x → ± 3 - 4 x 2 - 9 =   ?

Substituindo os valores x = ± 3 , temos que

l i m x → ± 3 - 4 x 2 - 9 = - 4 ( ± 3 ) 2 - 9 =   ?

Como temos que x está a o quadrado, o sinal não importa, e o nosso limite tente à

l i m x → ± 3 - 4 x 2 - 9 = - 4 0 = - ∞

Note que isso não é uma divisão por 0 , o denominador simplesmente tende a um número muito pequeno, de forma que no limite, a função explode para o infinito. Ou seja, em x ± 3 temos assíntotas verticais! Vamos agora analisar se existem assíntotas horizontais! Vem comigo!

Passo 3

Para as assíntotas horizontais temos que analisar os limites

l i m x → ± ∞ - 4 x 2 - 9

Novamente, como temos que x está ao quadrado, o sinal ± no limite não importa. Note que quando x → ∞ o denominador se torna um número muito grande, e portanto, a razão se torna um número muito pequeno, ou seja

l i m x → ± ∞ - 4 x 2 - 9 = 0

De forma que quando o valor de x cresce tanto para - ∞ ou + ∞ temos que a função tende para a reta horizontal f ( x ) = 0 , portanto, esta é uma assíntota horizontal! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Temos assíntotas verticais em x ± 3 e assíntotas horizontais em f ( x ) = 0 .

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