Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

f(x) = x / raiz(x^2 + x - 12)

Passo 1

Primeiro passo é a gente entender como calculamos uma assíntota vertical e uma horizontal.

De forma bem sucinta e prática:

Assíntota horizontal: Fazemos x → ∞ + e x → ∞ - e se lim x → ∞ ± ⁡ f x = c , onde c é uma constante, temos uma assíntota horizontal. Lembrando que podemos ter valores de constantes dependendo se estamos fazendo x → ∞ + e x → ∞ - , logo teríamos 2 assíntotas horizontais nesses dois valores diferentes de constantes.

Assíntota vertical: Precisamos encontrar um valor de x que faça o denominador tender a zero, se a f x = ± ∞ , temos então uma assíntota vertical no valor que fizemos x tender.

Então, bora pro rolo!

Passo 2

Pra gente encontrar a assíntota horizontal, vamos aplicar nosso limite!

lim x → ∞ ⁡ = ∞ ∞ = I N D E T E R M I N A Ç Ã O

Eita lasqueira, deu ruim! Vamos ter que fazer um ajuste, vulga mágica haha

E nesse caso vamos ter que colocar em evidência o polinômio de maior potência que se encontra no numerador e no denominador.

x x 2 1 + 1 x - 12 x 2 = 1 1 + 1 x - 12 x 2

Agora a gente vai aplicar nosso limite!!!

l i m x → ∞ - = 1 1 + 1 x - 12 x 2 = 1 1 + 0 - 0 = 1

⁡ l i m x → ∞ + = 1 1 + 1 x - 12 x 2 = 1 1 + 0 - 0 = 1

Opa, temos assíntota horizontal em y = 1

Passo 3

Agora verificando a assíntota vertical, lembrado sempre que nossa função deve tender a infinito para que haja uma assíntota vertical. E quando temos um polinômio no denominador, precisamos encontra a raiz, afinal, se a gente zerar aquele denominador ali dentro da raiz quadrada, vamos fazer nossa f ( x ) tender a infinito.

x 2 + x - 12 = 0

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 1 ± 1 - 4 1 - 12 2 = - 1 ± 7 2

x 1 = - 4

x 2 = 3

E bora aplicar os limites usando essas raízes!!

lim x → - 4 + ⁡ x x 2 + x - 12 = - 4 d e n o m i n a d o r → 0 = - ∞

lim x → - 4 - ⁡ x x 2 + x - 12 = - 4 d e n o m i n a d o r → 0 = - ∞

lim x → 3 + ⁡ x x 2 + x - 12 = 3 d e n o m i n a d o r → 0 = + ∞

lim x → 3 - ⁡ x x 2 + x - 12 = 3 d e n o m i n a d o r → 0 = + ∞

Logo, temos que em x = 3 e x = 4 , teremos assíntotas verticais.

Resposta

Assíntota horizontal: y = 1

Assíntota vertical: x = 3 e x = 4

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