Esboce o gráfico e de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as seguintes condições dadas: lim x → 3 ⁡ f x = - ∞ , lim x → ∞ ⁡ f x = 2 ,   f 0 = 0 ,     f   é   p a r .

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha, agora o último dessa prova. Nesse exercício uma ideia é sair de uma função que faz algo que nós queremos e ir ajustando, bora lá.

Começar pela primeira condição, f x → - ∞ quando x → 3 . Quando pensamos em algo indo para - ∞ ela é do tipo " - 1 0 " , ou seja, queremos algo do tipo:

f x = 1 3 - x

Mas nesse caso temos o gráfico:

Mas veja que nesse caso, o limite para x = 3 vai para - ∞ pela direita e + ∞ pela esquerda. Para gente fazer essa função ser par, podemos aplicar módulo em x , pois vamos lembrar que f é par se f - x = f ( x ) , ou seja, se colocarmos módulo, resolveríamos isso. Uma vez que x = | - x | .

Passo 2

Vamos olhar para f x = 1 3 - x , ficaríamos com o gráfico:

Além disso, queremos que f   → 2 quando x → ∞ , ou seja, podemos somar 2 no valor de f ( x ) para subir esse gráfico 2 unidades, então

f x = 1 3 - x + 2   tem gráfico:

Passo 3

Nesse momento temos que as condições lim x → - ∞ ⁡ f x = 2   e   f   é   p a r , falta que lim x → 3 ⁡ f x = - ∞ , porém para isso ocorrer, esse gráfico entre x = - 2   e   x = 2 teria que ser para baixo, para os gráficos laterais em x = 3 serem iguais, ou seja, podemos tomar:

f x =   1 3 - x + 2 ,       s e   x ∈ ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) - 1 3 - x + 2 ,     s e   x ∈ - 2,0 ∪ ( 0,2 )   0 ,       s e   x = 0

E nesse caso, temos o gráfico sendo:

Resposta

f x =   1 3 - x + 2 ,       s e   x ∈ ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) - 1 3 - x + 2 ,     s e   x ∈ - 2,0 ∪ ( 0,2 )   0 ,       s e   x = 0

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