UNICAMP – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 – 2022.1 - 5ª Vespertino – Questão 5
Seja .
- Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de e os seus pontos de máximo/mínimo locais.
- Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.
- Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
- Esboce o gráfico de usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).
Passo 1
Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos fazer devagarinho essa questão... começando pela letra (a)!!
Vamos primeiro derivar a função, desse jeitinho aqui:
Para encontrar os pontos críticos, fazemos :
Analisando, vemos que é o único ponto crítico.
Assim, podemos determinar o crescimento e decrescimento da função de forma mais simples pois:
- ocorre quando (portanto, crescente);
- ocorre quando (portanto, decrescente).
Como é o único ponto crítico, acabamos de ver que nesse ponto a derivada passa de negativo para positivo. Portanto, trata-se de um mínimo local!!
Passo 2
Na letra (b) temos primeiro que calcular a derivada segunda, ou seja:
Assim, sabemos que apenas quando o numerador for zero, ou seja, quando:
Em que podemos concluir que:
- No intervalo temos que (sendo côncavo para cima);
- Nos intervalos e temos que (sendo côncavo para baixo).
Para os pontos de inflexão (um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal), podemos ver que ocorre quando . Assim, temos dois pontos de inflexão:
- ;
Passo 3
Para a letra (c), vemos que não possui assíntota vertical pois a função é contínua em todo o .
Também, não haverá assíntotas horizontais pois:
Passo 4
Por fim, para a letra (d) podemos plotar o gráfico da função:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Resposta no texto.