Seja f x = ln ⁡ ( 1 + x 2 ) .

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f e os seus pontos de máximo/mínimo locais.
  2. Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos fazer devagarinho essa questão... começando pela letra (a)!!

Vamos primeiro derivar a função, desse jeitinho aqui:

f ' ( x ) = 1 1 + x 2 ( 1 + x 2 ) ' = 2 x 1 + x 2

Para encontrar os pontos críticos, fazemos f ' x = 0 :

2 x 1 + x 2 = 0 ∴ x = 0

Analisando, vemos que x = 0 é o único ponto crítico.

Assim, podemos determinar o crescimento e decrescimento da função de forma mais simples pois:

  • f ' x > 0 ocorre quando x > 0 (portanto, crescente);
  • f ' x < 0 ocorre quando x < 0 (portanto, decrescente).

Como x = 0 é o único ponto crítico, acabamos de ver que nesse ponto a derivada passa de negativo para positivo. Portanto, trata-se de um mínimo local!!

Passo 2

Na letra (b) temos primeiro que calcular a derivada segunda, ou seja:

f ' ' x = f ' x ' = 2 x ' 1 + x 2 - 2 x 1 + x 2 ' 1 + x 2 2 ∴

f ' ' x = 2 1 + x 2 - 2 x 2 x 1 + x 2 2 ∴

f ' ' x = 2 1 - x 2 1 + x 2 2

Assim, sabemos que f ' ' x = 0 apenas quando o numerador for zero, ou seja, quando:

2 1 - x 2 = 0 ∴ x = ± 1

Em que podemos concluir que:

  • No intervalo ( - 1 ,   1 ) temos que 2 1 - x 2 > 0 (sendo côncavo para cima);
  • Nos intervalos ( - ∞ ,   - 1 ) e ( 1 ,   + ∞ ) temos que 2 1 - x 2 < 0 (sendo côncavo para baixo).

Para os pontos de inflexão (um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal), podemos ver que ocorre quando x = ± 1 . Assim, temos dois pontos de inflexão:

  • 1 ,   f 1 = 1 , ln ⁡ 1 + 1 2 = ( 1 , ln ⁡ 2 ) ;
  • - 1 ,   f - 1 = - 1 , ln ⁡ 1 + - 1 2 = - 1 , ln ⁡ 2 .

Passo 3

Para a letra (c), vemos que f ( x ) não possui assíntota vertical pois a função é contínua em todo o R .

Também, não haverá assíntotas horizontais pois:

lim x → ± ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 = + ∞

Passo 4

Por fim, para a letra (d) podemos plotar o gráfico da função:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Resposta no texto.

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