Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

f(x) = tg(x)

Passo 1

Primeiro passo é a gente entender como calculamos uma assíntota vertical e uma horizontal.

De forma bem sucinta e prática:

Assíntota horizontal: Fazemos x → ∞ + e x → ∞ - e se lim x → ∞ ± ⁡ f x = c , onde c é uma constante, temos uma assíntota horizontal. Lembrando que podemos ter valores de constantes dependendo se estamos fazendo x → ∞ + e x → ∞ - , logo teríamos 2 assíntotas horizontais nesses dois valores diferentes de constantes.

Assíntota vertical: Precisamos encontrar um valor de x que faça o denominador tender a zero, se a f x = ± ∞ , temos então uma assíntota vertical no valor que fizemos x tender.

Então, bora pro rolo!

Passo 2

Pra gente encontrar a assíntota horizontal, vamos aplicar nosso limite!

lim x → ∞ + ⁡ t g ( x ) = lim x → ∞ - ⁡ t g x = ∞

Opa, não temos assíntota horizontal.

Passo 3

Para assíntotas verticais, precisamos lembrar que t g x = s e n x cos ⁡ x

Logo, precisamos fazer x tender a valores que zerem cos(x). Olhando pro círculo trigonométrico...

Cos(x) será zero sempre que ele for π 2 , depois 3 π 2 , ou seja, eu precisei percorrer um tamanho π do círculo pra chegar até o 3 π 2 . Depois em pra zerar cos(x) vamos precisar percorrer mais, ou seja, π 3 π 2 + π = 5 π 2 , e assim por diante. Note que de π 2 até 5 π 2 eu precisei andar 2 π , ou seja, cos(x) zera toda vez que x → π 2 + n π .

Logo,

lim x → π 2 + nπ ⁡ t g x = l i m x → π 2 + n π s e n x l i m x → π 2 + n π cos ⁡ x

Note que o numerador vai ficar variando entre – 1 ou 1 por conta do sem(x). Logo, o resultado disso vai nos dá um numerador que varia entre – 1 ou 1, e o denominador se aproxima de zero, logo o resultado desse limite ora será + ∞ e ora será - ∞

Resposta

Não há assíntota horizontal

Assíntota vertical: x = π 2 + n π

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