UFES, 2018.1, Lista 4, Q15
15) Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.
Passo 1
Falaa gente bonita do Responde Aí!
Bora relembrar rapidinho como que encontramos as assíntotas horizontais e verticais sem precisar desenhar o gráfico.
Assíntota Horizontal: Basicamente precisamos calcular dois limites:
e
Se um desses limites assumir valor finito, então esse valor representa uma assíntota horizontal. Bem simples né?
Assíntota Vertical: Aqui precisamos analisar a nossa função e procurar algum valor de que possa causar indeterminação matemática. Na maioria dos casos, vamos procurar pontos onde a função está “dividindo por zero” na sua lei de formação.
Show, agora que já entendemos o que a questão está pedindo e como calcular isso, vamos às contas.
Passo 2
Começando pelo cálculo das possíveis assíntotas horizontais, temos:
Ótimo! é uma assíntota horizontal!
Maravilha! também é assíntota horizontal!
Passo 3
Vamos em busca das assíntotas verticais!
Analisando nossa função, vemos que o polinômio do seu denominador pode zerar se, e somente se:
Isso significa pessoal, que temos dois brilhantes candidatos a assíntota vertical. Mas para aprová-los precisamos checar se pelo menos um de seus limites laterais tende ao infinito.
Puts, temos um probleminha aí. Porque se , então . Porém sabemos que isso não pode acontecer dentro da raiz quadrada.
Mas calma, ainda tem o outro limite lateral, se pelo menos ele tender ao infinito, está valendo!
Ufaa, quase que não dava certo. Mas agora podemos confirmar, realmente é uma assíntota vertical.
Vamos para a outra raiz do denominador:
(Se calculássemos o outro limite lateral ele também não existiria por causa da condição de existência da raiz quadrada, igual ao que ocorreu para .)
Aee, também é assíntota vertical.
Então é isso, mais uma questãozinha finalizada galera!
Resposta
Assíntota Horizontal: e .
Assíntota Vertical: e .