Mostre que a equação

raiz(x + pi) = 1 - sen(x)

Tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos primeiro tentar descobrir pelo menos uma raiz para equação.

Perceba que:

x + π = 1 - s e n x ∴ x + π - 1 + s e n x = 0

Agora vamos ter que resolver essa equação para descobrirmos a raiz?

E se eu te disser que nem precisa haha!!

Agora vamos ter muuuita atenção para não nos confundirmos aqui!

Passo 2

A explicação é a seguinte...

Concorda comigo que se f x = 0 , então x é a solução da equação né (parece óbvio, mas vamos devagarinho para entendermos melhor).

Se olharmos bem, veremos que o menor valor possível de x para que o resultado seja real é - π e o maior é + ∞ .

Assim, podemos pegar o intervalo [ - π ,   π ] e aplicar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que:

“Dada uma função contínua definida em um intervalo [ a ,   b ] e se d é um número compreendido entre f ( a ) e f ( b ) , então existirá um elemento c   ∈   [ a ,   b ] tal que f ( c )   =   d .”

Agora vamos aplicar!!

Passo 3

Para f ( - π ) :

f - π = - π + π - 1 + s e n - π ∴

f - π = - 1

E, para f π :

f π = π + π - 1 + s e n π ∴

f π = 2 π - 1

Passo 4

Assim, podemos afirmar que existe uma constante real k nesse intervalo contínuo que faz com que:

f k = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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