Determine:

b As assíntotas da função f(t) = (sen t) / t;

Passo 1

Falaaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova.

Esse exercício nos pede para achar assíntotas, vamos lembrar um pouco sobre esse conceito? Primeiro temos dois tipos de assíntotas as verticais e as horizontais, se lembra como acha-las?

Informalmente podemos entender assíntotas horizontais ou verticais como uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Para achar assíntotas horizontais, fazemos duas coisinhas:

Primeiro fazemos x → + ∞ e depois x → - ∞ , se f ( x ) der de fato um valor real, quando colocamos algum desses limites, dizemos que será uma assíntota horizontal. Essas retinhas são coisas do tipo:

Para achar as verticais nós iremos basicamente olhar o que ocorre nos valores problemáticos no domínio da função, em geral, vamos só olhar para o valor que zera o denominador de f e calcular os limites laterais nesse valor, caso algum desses resulte em ±   ∞ acharemos uma assíntota.

Essas verticais, graficamente, são desse tipo:

Passo 2

Agora que já demos uma revisadinha no conceito, bora para o problema.

Vamos olhar para as assíntotas horizontais, bora começar calculando:

lim t → - ∞ ⁡ s e n t t

Nesse caso, podemos analisar pelo teorema do confronto, ou seja, nossa ideia é ver o limite da seguinte forma:

lim t → - ∞ ⁡ 1 t s e n t

Veja que nesse caso temos uma função que vai para zero ( 1 t ) vezes outra função que é limitada ( s e n o ) , ou seja, usando o teorema do confronto podemos dizer que esse limite vai para zero.

Além disso, olhando para lim t → + ∞ ⁡ 1 t s e n t podemos tomar a mesma conclusão, uma vez que 1 t também irá para zero.

Ou seja, temos que

lim t → + ∞ ⁡ s e n t t =   lim t → - ∞ ⁡ s e n t t = 0

E por isso achamos uma assíntota y = 0 horizontal.

Passo 3

Agora vamos procurar as verticais, para isso temos que analisar os limites laterais sobre um valor problemático do domínio.

Mas veja que como f t = s e n t t o valor problemático será t = 0 , pois zera o denominador, ou seja, queremos analisar:

lim x → 0 - ⁡ s e n t t

E

lim x → 0 + ⁡ s e n t t

Porém aqui ocorre algo legal, vamos lembrar que do limite fundamental trigonométrico, que nos diz:

lim x → 0 ⁡ s e n t t = 1

Ou seja, quando temos lim x → 0 ⁡ s e n t t = 1 estamos dizendo que esse limite existe e é igual a 1, ou seja, para o limite existir, os laterais devem existir e serem iguais ao limite geral, logo podemos dizer que:

lim x → 0 - ⁡ s e n t t = lim x → 0 + ⁡ s e n t t = 1

Ou seja, como esses limites laterais não vão para ± ∞ não temos assíntotas verticais.

Assim terminamos mais um probleminha dessa prova, bora para o próximo?

Resposta

y = 0

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