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Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função

f x = x 2 - 16 x 2 + x - 20

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas verticais.

É sempre bom simplificar a função quando possível, no caso com fatorações.

Repare que x 2 - 16 = x - 4 x + 4 e x 2 + x - 20 = x + 5 x - 4 . Logo:

f x = x 2 - 16 x 2 + x - 20 = x - 4 x + 4 x + 5 x - 4

Assumindo que x - 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 4 , isso dá:

f x = x + 4 x + 5

Vemos que f é descontínua em x = - 5 . Então nosso candidato a assíntota vertical é x = - 5 .

Passo 2

Só pra ficar claro porque x = 4 não é candidato a assíntota: como pudemos cortar o x - 4 da expressão da função, os limites laterais em x = 4 não vão explodir pro infinito.

lim x → 4 - ⁡ f x = lim x → 4 - ⁡ x 2 - 16 x 2 + x - 20

= lim x → 4 - ⁡ x - 4 x + 4 x + 5 x - 4 = lim x → 4 - ⁡ x + 4 x + 5 = 8 9

E o outro limite lateral dá a mesma coisa.

Passo 3

Agora testemos o limite lateral com x → - 5 - :

lim x → - 5 - ⁡ f x = lim x → - 5 - ⁡ x + 4 x + 5 = + ∞

Isso já basta pra provar que x = - 5 é uma assíntota vertical de f . Mas também poderíamos testar o outro limite lateral:

lim x → - 5 + ⁡ f x = lim x → - 5 + ⁡ x + 4 x + 5 = - ∞

Passo 4

Agora vamos pras assíntotas horizontais.

Pra isso temos que calcular os limites de f no infinito. Aproveitando os resultados anteriores, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 16 x 2 + x - 20 = lim x → - ∞ ⁡ x + 4 x + 5

= lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 4 x x 1 + 5 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 4 x 1 + 5 x = 1 1 = 1

Com exatamente as mesmas contas, temos

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 16 x 2 + x - 20 = 1

Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal de f .

Resposta

Assíntota vertical: x = - 5

Assíntota horizontal: y = 1

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