Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função abaixo
Passo 1
Vamos olhar para a e seu domínio, em primeiro lugar. Quando , vemos que a função da problema porque:
Bom, o domínio desse cara aqui de cima, para não zerar o denominador, é . Como é um ponto que gera indeterminação, esse ponto é um candidato pra assíntota vertical
Passo 2
Agora, em nós precisamos calcular os limites laterais, pois temos uma descontinuidade!
Repara, para ambos precisamos primeiro reescrever o limite. O denominador mais complicado é um polinômio de segundo grau que já sabemos uma das raízes, o próprio . A outra vai ser , tal que:
Se
Então
E logo:
Fazendo isso no limite:
Observando-o lateralmente temos:
E com isso, concluímos que é uma assíntota vertical!
Passo 3
Mas calma lá, o polinômio não tinha duas raízes? O que vai acontecer em ? Vamos substituir e ver:
Opa, outra indeterminação! Já que é assim, também é um candidato à assíntota vertical. Partiu então calcular o limite:
Observando-o lateralmente temos:
E com isso, concluímos que também é uma assíntota vertical!
Passo 4
E pra fechar com chave de ouro, falta só a gente checar as assíntotas horizontais. Para isso, precisamos fazer:
Como já vimos, esse limite vai ser igual à
Abrindo o denominador, temos:
Colocando os termos de maior ordem em evidência, ficamos com:
E, por fim, aplicando o limite:
E prontinho! Questão resolvida, agora é só partir pro abraço. Vamos ter que é também uma assíntota, só que esta é horizontal