Considere f : R → R dada por:

f x = 5 x 2 + 8 4 x 2 - 9 ,   s e   x ≥ 2 13 - 3 x ,   s e   x < 2

  1. A função f é contínua em x = 2 ? Justifique sua resposta.
  2. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos primeiro aplicar os limites laterais para verificar se a função f é contínua em x = 2 .

Mas o que são esses limites?? De forma simples, é verificarmos x tendendo a 2 pelos números maiores que ele e pelos números menores que ele!!

Passo 2

Vamos analisar o primeiro caso, em que lim x → 2 + ⁡ f ( x ) , ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ 5 x 2 + 8 4 x 2 - 9 = 5 ∙ 2 2 + 8 4 ∙ 2 2 - 9 = 28 7 = 4

Agora vamos para o segundo caso!!!

Passo 3

Para o segundo caso, temos que lim x → 2 - ⁡ f ( x ) , ou seja:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ 13 - 3 x = lim x → 2 - ⁡ 13 - 3 ∙ 2 = 7

Dessa forma, como os limites laterais são diferentes, podemos concluir que f não é contínua em x = 2 .

Agora vamos verificar as assíntotas!!

Passo 4

Para as assíntotas horizontais, temos que verificar o limite quando x → ∞ , ou seja:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 5 x 2 + 8 4 x 2 - 9

Podemos simplificar a expressão da seguinte forma:

5 x 2 + 8 4 x 2 - 9 = 5 x 2 + 8 x 2 4 x 2 - 9 x 2 = 5 + 8 x 2 4 - 9 x 2

Assim, temos o limite:

lim x → ∞ ⁡ 5 + 8 x 2 4 - 9 x 2 = 5 + 0 4 - 0 = 5 4

Dessa forma, temos que y = 5 4 é a assíntota horizontal de f quando x → ∞ .

Para f x = 13 - 3 x não existe assíntota horizontal, pois f x → ∞ nesse caso.

Passo 5

Por outro lado, não haverá assíntotas verticais nas funções. Mas por quê?????? 😱 😱 😱

A explicação é interessante, olha...

A gente viu que tanto para x > 2 quanto para x < 2 o limite de f sempre existirá (como prova, descobrimos os limites laterais deles).

Nesse sentido, para se ter uma assíntota vertical em x   =   a , algum dos limites laterais de f em a precisa ser ou - ∞ .

Dessa forma, f não tem assíntotas verticais!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. f não é contínua em x = 2 ;
  2. Apenas assíntota horizontal em y = 5 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0