52. Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais.

a) f(x) = (1 - x^2) / (x^2 + 1)

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar as equações para achar as assíntotas horizontais utilizando limites.

Pra isso seguimos o passo a passo:

1. Fazer os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinitos;

2. Se, pelo menos um desses limites, resultar em uma constante c , onde c ∈ R . Teremos que a reta y = c é assíntota horizontal;

3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;

4. Se os dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Bora pra questão...

Passo 2

Fazendo o limite para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x 2 x 2 + 1 =

Colocando x 2 em evidência em cima e embaixo:

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 x 2 - 1 x 2 1 - 1 x 2

= lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 - 1 1 - 1 x 2

= 0 - 1 1 - 0

= - 1

Passo 3

Fazendo o limite para mais infinito:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - x 2 x 2 + 1 =

Colocando x 2 em evidência em cima e embaixo:

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 x 2 - 1 x 2 1 - 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 - 1 1 - 1 x 2

= 0 - 1 1 - 0

= - 1

Como os dois limites deram -1, então essa é a única assíntota horizontal:

y = - 1

Resposta

y = - 1

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