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Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 3 – Limite e Continuidade

52. Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais.

a) f x = 1 - x 2 x 2 + 1

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar as equações para achar as assíntotas horizontais utilizando limites.

Pra isso seguimos o passo a passo:

1. Fazer os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinitos;

2. Se, pelo menos um desses limites, resultar em uma constante c , onde c ∈ R . Teremos que a reta y = c é assíntota horizontal;

3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;

4. Se os dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Bora pra questão...

Passo 2

Fazendo o limite para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - x 2 x 2 + 1 =

Colocando x 2 em evidência em cima e embaixo:

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 x 2 - 1 x 2 1 - 1 x 2

= lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 - 1 1 - 1 x 2

= 0 - 1 1 - 0

= - 1

Passo 3

Fazendo o limite para mais infinito:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - x 2 x 2 + 1 =

Colocando x 2 em evidência em cima e embaixo:

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 x 2 - 1 x 2 1 - 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 - 1 1 - 1 x 2

= 0 - 1 1 - 0

= - 1

Como os dois limites deram -1, então essa é a única assíntota horizontal:

y = - 1

Resposta

y = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0