UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 15
Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.
Passo 1
As assíntotas verticais são aquelas que ocorrem perto de pontos “problemáticos” da função, lembra? Esses pontos problemáticos são justamente os pontos de descontinuidade. No caso da função dada, a única restrição que temos que analisar é quando o denominador da fração é zero. Isso ocorre quando:
Então, como queremos achar as assíntotas verticais da função, vamos ver os limites quando tende a .
Passo 2
Começando com o tendendo a .
Então é uma assíntota vertical. Agora vamos para para tendendo a .
Show! também é assíntota vertical!
Passo 3
Agora vamos ver as assíntotas horizontais, aquelas que ocorrem com tendendo a .
Começando com .
Pra resolver esse limite vamos usar aquele artificio de botar o termo de maior grau em evidencia e tirar o que pudermos da raiz.
Agora podemos cortar o de baixo com o de cima. Lembrando que, como o limite está tendendo para , o de cima será negativo. O de baixo positivo, pois foi tirado da raiz.
Note que quando tende a o termo tende a . Então:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .
Agora faremos o mesmo para .
Achamos outra assíntota horizontal, que é a reta .
Resposta
Verticais:
Horizontais: