UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 1a
Considere a função , definida em seu maior domínio possível.
a) Determine os limites no infinito e, caso existam, as assíntotas horizontais do gráfico de .
Passo 1
Faaaala galera, tudo certinho com vocês?
Nessa questão nos foi dada a função:
E, precisamos calcular os seus limites no infinito, bem como suas assíntotas horizontais. Daí, se todo mundo tiver lembrado da definição de assíntota horizontal, vão se ligar que:
é uma assíntota horizontal de , se:
Ou seja, a assíntota horizontal é exatamente o valor do limite da função no infinito (se esse limite for finito).
Sendo assim, vamos calcular o limite de para e aí verificamos se o resultado é um número finito, para analisar a assíntota horizontal.
Bora lá 😊
Passo 2
Começando com o limite quando , temos:
Quando , tanto o numerador quanto o denominador também vão pro infinito, e temos algo do tipo:
Nesse caso, podemos usar o nosso querido amigo L’hopital. Segundo ele:
Vamos então derivar o numerador e o denominador:
Assim:
Agora sim, quando , temos que o denominador tende a infinito, enquanto o numerador permanece constante. Logo:
Muito bom!
Passo 3
Vamo analisar agora o limite quando .
Se fizermos , teremos algo do tipo:
Ou seja, um número que tende ao infinito negativo, multiplicado por outro que tende ao infinito também. O resultado disso com certeza não é um número finito, assim podemos afirmar que:
Ou seja, não existe.
Muito bom! Pensando então nas assíntotas horizontais, apenas o limite para nos deu um valor finito. Logo, a única assíntota horizontal ocorre quando , onde a função tende a .
Prontinho! Matamos mais uma questãozinha. Vamo pra próxima 😊
Resposta
assíntota horizontal em quando .