Encontre as assíntotas do gráfico da função

f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as assíntotas da função

f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x - 2

Mas o que são as assíntotas mesmo?

Assíntotas são retas que o gráfico da função fica muito perto, mas nunca chega. O gráfico fica assintoticamente perto. Por exemplo, o gráfico da função e x nunca é zero, mas cada vez que reduzimos o valor de x o gráfico vai se aproximando assintoticamente do zero. Logo a reta y = 0 é uma assíntota desse gráfico.

Costumamos trabalhar com duas assíntotas, a vertical e a horizontal. GERALMENTE, as assíntotas verticais são encontradas quando analisamos os limites da função no infinito e no menos infinito. E as assíntotas verticais surgem, GERALMENTE, quando temos uma divisão zero na nossa função.

Com isso em mente, vamos descobrir as assíntotas da função

f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x - 2

Passo 2

Queremos encontrar as assíntotas de

f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x - 2

E como comentamos no passo 1, essas assíntotas GERALMENTE são encontradas nos limites no infinito da função, e quando o denominador é zero. Então, vamos começar pelo mais simples, que é verificar quando o denominador da função é zero. Como a função é

f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x - 2

Queremos saber quando

x 2 + x - 2 = 0

Fatorando, temos que:

( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0

Dessa forma, chegamos a conclusão que o denominador é zero quando

x = 1

x = - 2

Ou seja, as assíntotas verticais são as retas

x = 1

x = - 2

Passo 3

Agora, vamos obter as assíntotas horizontais. Para isso, precisamos olhar os limites no infinito da função. Queremos descobrir

l i m x → ∞ 2 x + 1 x 2 + x - 2

colocando x em evidência

l i m x → ∞ 2 x + 1 x 2 + x - 2 = l i m x → ∞ 2 + 1 / x x ( 1 + 1 / x - 2 / x 2 )

Note que o denominador cresce quando x aumenta, logo para x muito grande a fração fica bem próxima de zero. Ou seja,

l i m x → ∞ 2 x + 1 x 2 + x - 2 = 0

Ou seja, quando x → ∞ a nossa função se aproxima assintoticamente do valor 0 . E de forma análoga, temos que

l i m x → - ∞ 2 x + 1 x 2 + x - 2 = 0

Então as assíntotas da função são as retas

x = 1

x = - 2

y = 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x = 1 x = - 2 y = 0

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