Determine o valor de para que a função definida por
Seja continua. Para os valores de achados:
- possui assíntotas horizontais quando ?
- possui assíntotas verticais?
Passo 1
Simbora. A questão quer saber da continuidade da função. A primeira coisa que devemos observar é que:
É contínuo em todo o intervalo , independente de quem seja o , beleza? Agora, olhando pra outra lei de formação:
Só tem um jeito de isso não ser contínuo no intervalo : se . Nesse caso, teríamos uma divisão por ! Aí não dá né. Agora, se:
Então
Po, já tiramos uma condição importante sobre o valor de : ele necessariamente tem que ser positivo. Caso contrário, a função não vai ser contínua em .
Show de bola, já vimos a continuidade em e em . Mas e pra ? Pra vermos a continuidade nesse ponto, que é onde a lei de formação muda, precisa ser verdade a igualdade abaixo:
Então partiu calcular cada um desses termos
Passo 2
Calculando e
Bem, a função como é definida por partes tem duas leis de formação. Qual usar em cada caso vai depender. Pelo enunciado, a gente consegue ver que:
Então é essa lei de formação mesmo que vamos usar pra . Sem mais delongas, bora pras contas:
Agora, pra calcular a gente tem que pensar da mesma forma, beleza? Como significa tendendo a por valores menores que , a lei de formação que vamos usar vai ser a mesma! Sendo assim:
Perfeito, parte da questão tá feita! Provamos que:
Passo 3
Calculando
Só agora que a gente vai precisar trocar de lei de formação. Porque? Bem, agora o limite vai ser pra , ou seja, pra tendendo a por valores maiores que , ou seja pra . Vamos ter então:
O limite vai ser então:
Passo 4
Juntando tudo
Agora que calculamos os dois limites e também, aplicando à condição de continuidade, vamos ter que:
Agora é só achar e partir pro abraço. Vamos lá:
E olha só! O resultado já satisfez a condição que vimos! A função vai ser então:
Passo 5
Falando de assíntotas
Falta agora só a gente responder a letra e a letra pra fechar a questão, então bora lá. Pra começar, vamos ver a assíntota horizontal que a questão pede. Como ela pede pra , fazemos:
Então essa função tem sim uma assíntota horizontal, e ela é . Agora, quando a gente fala de assíntotas verticais, a gente precisa de uma descontinuidade primeiro. Como já fechamos com , nossa é completamente contínua! Logo, sem assíntotas verticais por aqui 😉