UNICAMP – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 – 2022.1 - 6ª Noturno – Questão 5
Seja .
- Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de e os seus pontos de máximo/mínimo locais.
- Determine os intervalos onde é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.
- Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de .
- Esboce o gráfico de usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).
Passo 1
Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos fazer devagarinho essa questão... começando pela letra (a)!!
Vamos primeiro derivar a função (fazendo pela regra do quociente ein?!), desse jeitinho aqui:
Para encontrar os pontos críticos, fazemos :
Assim, pelo Teste de Crescimento/Decrescimento, podemos concluir que:
- Para , (logo, é crescente);
- Para , (logo, é decrescente)
E, olhando o único ponto crítico, percebemos que seu sinal muda de negativo para positivo, fazendo que seja um ponto de mínimo local!!
Passo 2
Na letra (b) temos primeiro que calcular a derivada segunda, ou seja:
Assim, sabemos que apenas quando
Além disso, podemos concluir que:
- no intervalo , fazendo côncava para cima;
- nos intervalos e , fazendo côncava para baixo.
Para os pontos de inflexão ( ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal), podemos ver que ocorre quando:
- ;
- .
Passo 3
Para a letra (c), vemos que não possui assíntota vertical pois a função é contínua em todo o .
Por outro lado, podemos aplicar L’Hospital para verificar se há assíntota horizontal:
Assim, há uma assíntota horizontal em quando e quando .
Passo 4
Por fim, para a letra (d) podemos plotar o gráfico da função:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)