52. Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais.

b) f(x) = (raiz(x) + 4) / raiz(x + 4)

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos determinar as equações para achar as assíntotas horizontais utilizando limites.

Pra isso seguimos o passo a passo:

1. Fazer os limites da nossa função com x tendendo a mais e menos infinitos;

2. Se, pelo menos um desses limites, resultar em uma constante c , onde c ∈ R . Teremos que a reta y = c é assíntota horizontal;

3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;

4. Se os dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Bora pra questão...

Passo 2

Fazendo o limite para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x + 4 x + 4 =

Repara que a função não está definida para valores negativos, já que tem x e raiz nunca pode ser negativa...

Então esse limite não existe.

Passo 3

Fazendo o limite para mais infinito e usando as propriedades de limites:

lim x → + ∞ ⁡ x + 4 x + 4 = lim x → + ∞ ⁡ x x + 4 + 4 x + 4

= lim x → + ∞ ⁡ x x + 4 + lim x → + ∞ ⁡ 4 x + 4

= lim x → + ∞ ⁡ x x + 4 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 4

= lim x → + ∞ ⁡ x x 1 + 4 x + lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 4

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 4 x + lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 4

= lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 4 x + lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 4

= 1 + 0

= 1

Como, pelo menos, um dos limites deu uma constante, então a assíntota horizontal é:

y = 1

Resposta

y = 1

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