Considere a função f x = x e - x , definida em seu maior domínio possível.

b) Determine, caso existam, as assíntotas verticais do gráfico de f e os limites laterais nessas assíntotas.

Passo 1

Eaí pessoal, tudo bom?

Nesse item precisamos calcular as assíntotas verticais do gráfico de f (isso se elas existirem). Mas, vocês lembram o que é uma assíntota vertical?

Bom, basicamente ela é um ponto x do domínio da função em que f explode pra ±   ∞ .

Assim, primeiro de tudo precisamos avaliar se na função:

f x = x e - x

existe algum ponto x (finito) que faz a função explodir.

Caso exista, depois que encontrarmos esse ponto vamos calcular os limites laterais. Ou seja:

lim x → x 0 - ⁡ f x lim x → x 0 + ⁡ f x

Show de bola! Então, vamo lá!

Passo 2

Nossa função é:

f x = x e - x

= x e x

Pra essa função tender a ± ∞ , precisaríamos que acontecesse uma das duas possibilidades:

1 ) O numerador tender a infinito, enquanto o denominador tende a um valor constante.

2) O denominador tender a 0 enquanto o numerador tende a algum número constante.

Massa!

Então, vamo pensar junto!

Pelo caso 1 ) , o numerador precisa tender a infinito. Mas, isso só ocorre quanto x → ± ∞ . E, para termos uma assíntota vertical a função precisa explodir em um valor finito de x .

Beleza! Caso 1 ) não deu certo.

Já no caso 2 ) precisaríamos que o denominador zerasse, mas a função e x nunca zera. Ela se aproxima de zero quando x →   - ∞ , porém caímos novamente no mesmo problema. Pois, para ser considerada uma assíntota vertical a função precisa explodir em um valor finito de x .

Portanto, concluímos que f x = x e - x não possui assíntotas verticais!

Resposta

Não há assíntotas verticais.

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