Q04) Encontre as assíntotas horizontais e verticais da seguinte função
Passo 1
Questão bem direta ao ponto né? Vamos lá então. Ela quer as assíntotas, então vamos começar pelas horizontais. Basta a gente fazer:
Como são leis de formação diferentes pra intervalos de diferentes, a lei que ta valendo pra entra no primeiro limite e a lei que ta valendo pra no segundo. Vamos ter:
Como temos um caso ai de limites com quociente de polinômios e tendendo aos infinitos, pros dois limites bora usar a mesma estratégia: por o termo de maior grau dos polinômios no numerador e no denominador em evidência:
Cortando os termos em comum e resolvendo os limites:
Então temos sim assíntotas horizontais: duas diferentes! Elas vão ser:
Passo 2
Pras assíntotas verticais, a gente tem que olhar os pontos da lei de formação que “dão problema”. Saca só:
E olhaí! A função não está definida nem em e nem em . São exatamente esses os pontos que vamos testar então os limites laterais. Começando com vamos ter:
Como a lei de formação não muda nas proximidade de e sim nas proximidades de , a lei de formação pros dois limites acima vai ser a mesma:
Agora vamos olhar os limites separadamente pra não nos enrolarmos:
Veja bem, se você for pegando números menores que mas cada vez mais próximos dele, como por exemplo, por ao quadrado (no caso, ) e subtrair um (no caso, ), sempre vai achar números próximos de porém negativos. Por isso o limite acima deu no denominador. Já o numerador da positivo se substituirmos . Um número positivo dividido por um número infinitamente pequeno e negativo dá um número infinitamente grande e negativo, logo, .
Agora, se você for pegando números maiores que mas cada vez mais próximos dele, como por exemplo, por ao quadrado (no caso, ) e subtrair um (no caso, ), sempre vai achar números próximos de e positivos. Por isso o limite acima deu no denominador. Um número positivo dividido por um número infinitamente pequeno e positivo dá um número infinitamente grande e positivo, logo, . Como os dois limites laterais explodiram para temos aí uma assíntota vertical!
Passo 3
Vamos agora nesse último passo testaro último candidato a assíntota vertical, belê? Pra isso faremos os limites:
Pegando números menores que porém beeem próximos e somando , o denominador fica negativo. Pegando números maiores que porém beeem próximos e somando , o denominador fica positivo. Sendo assim, os limites vão ficar:
E olha só! Explodiu pros infinitos também! Temos ai outra assíntota vertical!