Considere a seguinte função e suas derivadas:

f(x) = 1 / (x^2 + 1) , f'(x) = - (2x) / (x^2 + 1)^2 , f''(x) = (6 * x^2 - 2) / (x^2 + 1)^3

Calcule as assíntotas de f , estude o sinal da primeira e segunda derivada, indique os pontos de máximo/mínimo locais, os pontos de inflexão, e faça um esboço de f.

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado nos deu uma função e suas derivadas

f ( x ) = 1 x 2 + 1 , f ' ( x ) = - 2 x ( x 2 + 1 ) 2 , f ' ' ( x ) = 6 x 2 - 2 ( x 2 + 1 ) 3

ele pede para calcularmos as assíntotas, o sinal da primeira e segunda derivada, obter os máximo e mínimos locais, os pontos de inflexão, e usando tudo isso, fazer um esboço! Temos bastante coisa para fazer, então vamos apresentá-las por partes! Vamos começar achando as assíntotas, e usando as derivadas dadas para calcular os pontos críticos necessários para se obter os pontos de máximo (mínimo) e inflexão! Vem comigo!

Passo 2

Assíntotas verticais estão presentes quando existem problemas no domínio de uma função, a nossa função é bem comportada para todo x ∈ ℝ , portanto, não existem assíntotas verticais! Para as horizontais precisamos verificar o seguinte limite

l i m x → ± ∞ f ( x ) = L

Se L é um valor finito, ele nos indicará nossas assíntotas horizontais! Primeiro, temos que

l i m x → + ∞ 1 x 2 + 1

como este é um limite no infinito, e temos uma razão entre polinômios, podemos dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior ordem dos polinômios! Ou seja, por x 2 , obtemos que

l i m x → + ∞ 1 / x 2 1 + 1 / x 2 = 0 1 + 0 = 0

Ou seja, temos uma assíntota horizontal na reta y = 1 , ela é assíntota para quando x → - ∞ já que a nossa função tem paridade “par”. Vamos estudar o sinal das derivadas agora!

Passo 3

A nossa primeira derivada é tal que

f ' ( x ) = - 2 x ( x 2 + 1 ) 2

o denominador é sempre positivo, e irrelevante para dizermos onde a derivada se anula, portanto, temos que a nossa derivada é negativa para x > 0 , é positiva para x < 0 , e tem o seguinte ponto crítico como x = 0 , o ponto crítico é o ponto em que

f ' ( x 0 ) = 0

Vamos usar esse ponto crítico para avaliar o sinal da segunda derivada! Saca só!

Passo 4

A segunda derivada é tal que

f ' ' ( x ) = 6 x 2 - 2 ( x 2 + 1 ) 3

como temos que x 2 + 1 é sempre positivo, temos que o sinal é dado simplesmente pelo numerador, vamos encontrar quando isso é nulo, queremos verificar quando

6 x 2 - 2 = 0

Isolando x temos que

x = ± 1 / 3

Como temos que a segunda derivada não se anula no ponto crítico x 0 , temos que a função não tem pontos de inflexão! Será que teremos pontos de máximo ou mínimo? Vamos verificar!

Passo 5

Podemos verificar que em x 0 = 0 , nossa segunda derivada tem o seguinte valor

f ' ' ( 0 ) = 6 ( 0 ) 2 - 2 ( 0 2 + 1 ) 3 = - 2

Portanto f ( x 0 ) < 0 , indicando que este é um ponto de máximo local! E a segunda derivada é negativa em todo o intervalo

| x | < 1 / 3

Ela é positiva em todo o resto! Como só temos um ponto crítico, esse ponto máximo local é o único que podemos encontrar, não havendo pontos de mínimo! Um esboço do gráfico deve ser parecer com

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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