3. Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções

e. f(x) = x^4 / (x^2 - 16)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para quem não lembra, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Para achar a assíntota horizontal, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito.

Já para achar a assíntota vertical, vamos basicamente procurar valores onde pode dar problema no nosso domínio, calcular o limite nesse ponto e ver se ele vai para o infinito.

Agora vamos achar cada assíntota. Começando pela horizontal!

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, para achar assíntota horizontal temos que fazer x → ± ∞ . Então primeiro vamos fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ x 4 x 2 - 16 = ∞ ∞

Dá vontade de dizer que isso vai para 1 , mas temos que lembrar é um número muuuuuuuito grande que não está definido. Então o que temos é uma indeterminação.

Galerinha, sempre que a gente tiver uma divisão de polinômios que vai gerar uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , a dica é: colocar o x n (onde n é o maior grau) em evidência.

Neste caso, fica assim:

lim x → ± ∞ ⁡ x 4 x 2 - 16 = lim x → ± ∞ ⁡ x 4 x 2 1 - 16 x 2

Simplificando e calculando o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 - 16 x 2 = x 2 1 - 0 = + ∞

Opaaa, como nosso limite foi para infinito, não temos neste caso uma assíntota horizontal.

Passo 3

Para achar a assíntota vertical, temos que procurar onde dá problema no domínio. E aqui temos uma função que é uma divisão, e lembra que o denominador não pode zerar?

Então a nossa função não existe quando,

x 2 - 16 = 0

x = ± 4

Opaaa, então os pontos candidatos são x = + 4 e x = - 4 . Agora vamos para o limite!

Passo 4

Começando por x → - 4

lim x → - 4 ⁡ x 4 x 2 - 16 = - 4 4 0 = + ∞

Agora vamos fazer x → + 4

lim x → + 4 ⁡ x 4 x 2 - 16 = 4 4 0 = + ∞

Ambos os pontos são assíntotas verticais!

Resposta

Assintota horizontal: Não tem

Assintota vertical: x = ± 4

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