3. Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções

c. f(x) = 1 / (x^3 + x^2 - 6x)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para quem não lembra, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Para achar a assíntota horizontal, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito.

Já para achar a assíntota vertical, vamos basicamente procurar valores onde pode dar problema no nosso domínio, calcular o limite nesse ponto e ver se ele vai para o infinito.

Agora vamos achar cada assíntota. Começando pela horizontal!

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, para achar assíntota horizontal temos que fazer x → ± ∞ . Então primeiro vamos fazer:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 + x 2 - 6 x = 1 ∞ = 0

Opaaa, temos então uma assíntota horizontal em y = 0 .

Passo 3

Para achar a assíntota vertical, temos que procurar onde dá problema no domínio. E aqui temos uma função que é uma divisão, e lembra que o denominador não pode zerar?

Então a nossa função não existe quando,

x 3 + x 2 - 6 x = 0

Reescrevendo essa função,

x x 2 + x - 6 = 0

Por essa equação temos que x = 0 é um candidato. Mas essa função também vai zerar quando a parte dentro do parenteses também zerar.

x 2 + x - 6 = 0

x = - 1 ± 1 - 4 1 - 6 2 = - 1 ± 5 2

Opaaa, então outros pontos candidatos são x = - 3 e x = + 2 . Agora vamos para o limite!

Passo 4

Começando por x → 0

lim x → 0 ⁡ 1 x 3 + x 2 - 6 x = 1 0 = ∞

Agora vamos fazer x → - 3

lim x → - 3 ⁡ 1 x 3 + x 2 - 6 x = 1 0 = ∞

E x → + 2

lim x → + 2 ⁡ 1 x 3 + x 2 - 6 x = 1 0 = ∞

Todos os pontos são assíntotas verticais!

Resposta

Assintota horizontal: y = 0

Assintota vertical: x = 0 , x = - 3 e x = + 2

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