Em Física, é comum que se peça para analisar movimentos desprezando o atrito, o que é uma boa aproximação em muitos casos. Em diversas situações, no entanto, é necessário levar o atrito do ar, por exemplo, em conta. O modelo mais simples para o atrito em um fluido é aquele no qual se assume que a força de atrito a cada instante de tempo sobre um ponto material é proporcional à sua velocidade naquele instante. Em um modelo assim, pode-se mostrar que o módulo v da velocidade de um objeto em queda próximo à superfície da Terra caindo do repouso e sujeito ao atrito com o ar varia com o tempo t de acordo com a função

v(t) = (m * g / k) * (1 - e^(-k * t / m))

em que m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade, e k > 0 é uma constante de proporcionalidade com dimensões de massa / tempo . Nessa situação, se o objeto pudesse cair indefinidamente, sua velocidade se aproximaria de um certo valor constante, chamado de velocidade terminal. No gráfico de v(t) , essa velocidade é representada por uma assíntota horizontal. Qual é ela?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema disse que a velocidade terminal de um objeto pode ser encontrada quando a força de atrito é levada em conta no movimento de queda. O atrito é proporcional à velocidade, então quanto mais rápido o objeto estiver em queda, maior será sua força de resistência

Beleza até aqui?

Isso faz com que cada vez mais a força de atrito se equivalha à força peso, o que nos leva a famosa velocidade terminal: é a velocidade (constante) na qual o objeto cai quando as forças estão balanceadas

Esse balanceamento de forças ocorre no que dizemos tempo muito longo, ou quando

t → ∞

E para calcular a velocidade, calculamos o limite da função que representa a velocidade para t → + ∞ . O valor encontrado é chamado de assíntota horizontal, pois quando olhamos para o infinito, a função tende à uma reta horizontal: ao valor da velocidade terminal

E é exatamente isso que vamos fazer!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a função quadrática

f x = a x 2 + b x + c

Sabemos que o ponto que ela cruza o eixo vertical: ( 0,18 ) , então daqui já tiramos o valor do termo independente

f 0 = a . 0 2 + b . 0 + c = 18 → c = 18

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos resgatar do enunciado a cara da função que dá a velocidade de um corpo (e que leva em conta o atrito)

v t = m g k 1 - e - k t m

E agora vamos calcular o limite quando t → ∞

lim t → ∞ ⁡ m g k 1 - e - k t m = lim t → ∞ ⁡ m g k 1 - 1 e k t m = m g k 1 - 1 e ∞ = m g k

Está aí! Encontramos um valor finito1 esse é o valor da velocidade terminal e, consequentemente, da nossa assíntota horizontal

y = m g k

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

y = m g k

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