UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.9 – Questão C1
Em Física, é comum que se peça para analisar movimentos desprezando o atrito, o que é uma boa aproximação em muitos casos. Em diversas situações, no entanto, é necessário levar o atrito do ar, por exemplo, em conta. O modelo mais simples para o atrito em um fluido é aquele no qual se assume que a força de atrito a cada instante de tempo sobre um ponto material é proporcional à sua velocidade naquele instante. Em um modelo assim, pode-se mostrar que o módulo da velocidade de um objeto em queda próximo à superfície da Terra caindo do repouso e sujeito ao atrito com o ar varia com o tempo t de acordo com a função
em que é a massa do objeto, é a aceleração da gravidade, e é uma constante de proporcionalidade com dimensões de . Nessa situação, se o objeto pudesse cair indefinidamente, sua velocidade se aproximaria de um certo valor constante, chamado de velocidade terminal. No gráfico de , essa velocidade é representada por uma assíntota horizontal. Qual é ela?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema disse que a velocidade terminal de um objeto pode ser encontrada quando a força de atrito é levada em conta no movimento de queda. O atrito é proporcional à velocidade, então quanto mais rápido o objeto estiver em queda, maior será sua força de resistência
Beleza até aqui?
Isso faz com que cada vez mais a força de atrito se equivalha à força peso, o que nos leva a famosa velocidade terminal: é a velocidade (constante) na qual o objeto cai quando as forças estão balanceadas
Esse balanceamento de forças ocorre no que dizemos tempo muito longo, ou quando
E para calcular a velocidade, calculamos o limite da função que representa a velocidade para . O valor encontrado é chamado de assíntota horizontal, pois quando olhamos para o infinito, a função tende à uma reta horizontal: ao valor da velocidade terminal
E é exatamente isso que vamos fazer!
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos olhar para a função quadrática
Sabemos que o ponto que ela cruza o eixo vertical: , então daqui já tiramos o valor do termo independente
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos resgatar do enunciado a cara da função que dá a velocidade de um corpo (e que leva em conta o atrito)
E agora vamos calcular o limite quando
Está aí! Encontramos um valor finito1 esse é o valor da velocidade terminal e, consequentemente, da nossa assíntota horizontal
Beleza?
Espero ter ajudado!