Mostre que a equação

7 * cos(x) = 2x - 3

Tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos primeiro tentar descobrir pelo menos uma raiz para equação.

Perceba que:

7 cos ⁡ x = 2 x - 3 ∴ 7 cos ⁡ x - 2 x + 3 = 0

Agora vamos ter que resolver essa equação para descobrirmos a raiz?

E se eu te disser que nem precisa haha!!

Passo 2

A explicação é a seguinte... Vamos primeiro fazer f ( 0 ) :

f 0 = 7 cos ⁡ 0 - 2 ∙ 0 + 3 ∴

f 0 = 10

E vamos fazer também f π 2 :

f π 2 = 7 cos ⁡ π 2 - 2 ∙ π 2 + 3 ∴

f π 2 = - π + 3

Observação: Colocamos esses valores para nossos cálculos ficarem mais simples, certinho?!

Passo 3

Perceba que

f 0 = 10 > 0

E que

f π 2 = - π + 3 < 0

Pelo Teorema do Valor Intermediário, temos que:

“Dada uma função contínua definida em um intervalo [ a ,   b ] e se d é um número compreendido entre f ( a ) e f ( b ) , então existirá um elemento c ∈   [ a ,   b ] tal que f ( c )   =   d .”

Aplicando esse conceito a nossa questão, podemos usar esse teorema no intervalo 0 , π 2 e dizer que existe um x que pertence a esse intervalo que faz com que f x = 0 (que é um valor real como a questão pede).

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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