UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Prof° Ricardo Martins - Listas sobre Limites e Continuidade, Questão 2.9
A função possui assíntotas?
Passo 1
Eaew, beleza?
Temos a seguinte função
temos que verificar a existência de assíntotas! Existem três tipos de assíntotas que podem existir! Assíntotas verticais, que são caracterizadas pelo limite
no entanto, o ponto , está relacionado a valores específicos em que a nossa função não é bem definida, em nosso caso, isso não existe (vou falar mais sobre isso depois). Temos também as assíntotas horizontais, caracterizadas por
e, as assíntotas oblíquas definidas por uma equação de reta da forma , em que temos
e
Vamos verificar todos os casos! E veremos se temos alguma assíntota! Saca só!
Passo 2
Note que não existe um valor específico , no qual a função não é bem definida, portanto, não teremos uma assíntota vertical. Aqui temos apenas o intervalo no qual causando problemas, mas isso não gera uma assíntota! Tendo isso em vista, vamos verificar as assíntotas oblíquas, já que assíntota horizontal é um caso particular! Vamos fazer primeiro os cálculos para , temos que
podemos separar esse limite em dois da seguinte maneira
já que a constante continua sendo no limite do infinito! Agora, para resolver o outro limite! Vamos reescrever um pouco a nossa função, podemos retirar o de nossa raiz como um , note que
mas como estamos fazendo o limite para , temos que a definição de módulo nos indica que já que , obtemos então que
Avaliando o limite, temos que
Ou seja, temos que
O coeficiente angular de nossa assíntota oblíqua é , vamos calcular agora o coeficiente independente!
Passo 3
O coeficiente independente é obtido fazendo
em que usei . Quando temos um limite de uma função que tem uma soma envolvendo raízes, é sempre conveniente multiplicar por um conjugado, neste caso, vamos multiplicar e dividir por , temos que
simplificando, temos que
vamos novamente tirar o de dentro da raiz, e usar que para , obtendo
evidenciando no denominador, podemos escrever o nosso limite como
ou seja, temos que o coeficiente independente é
Maravilha! A nossa primeira assíntota é oblíqua da forma . Vamos verificar se temos uma assíntota oblíqua em !
Passo 4
O cálculo é bem parecido com o que fizemos no passo anterior, mas agora, temos que , como , sendo assim, a diferença aparecerá quando fizermos
e como esse limite agora se torna
temos que será dado por
Isso não é problema, apenas indica que nossa assíntota será horizontal! Vamos ver qual é o coeficiente independente! Da mesma forma que anteriormente, temos que
já que , multiplicando o numerador e denominador por , temos que
simplificando, nós podemos escrever
e, da mesma forma que fizemos anteriormente, tirando o dara raiz, temos que
Ou seja, temos uma assíntota horizontal em . E, essas são as duas assíntotas presentes nesta função! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
As assíntotas são e