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Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 9d

9. Em cada item, esboce no mesmo plano coordenado as curvas de nível f x , y = c para c ∈ - 1,0 , 4 :

(d) f x , y = x 2 + y 2 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos as curvas de nível da função f x , y = x 2 + y 2 2 nos níveis c = - 1,0 , 4 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

O que temos que fazer é igualar a função a uma variavel c que representa o nível da função que temos que representar...

Assim temos que atribuir a c os valores - 1,0 , 4 e em cada equação formada, vamos ter um gráfico bidimensional que vamos ter que representar no plano cartesiano.

Sacou? Bora ver como é na prática! 😉

Passo 2

Igualando a função f a c , temos

f x , y = x 2 + y 2 2 = c

Simplificando a equação...

x 2 + y 2 2 = c 2

x 2 c 2 + y 2 2 c 2 = 1

Perceba que a equação resultante é muito parecida com a equação da elipse, não é?

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Por exemplo, para c = - 1

x 2 - 1 2 + y 2 2 - 1 2 = 1 → x 2 1 + y 2 2 = 1

Para c = 0 não podemos usar a equação da elipse...

x 2 + y 2 2 = 0 2 = 0

E para c = 4

x 2 4 2 + y 2 2 4 2 = 1 → x 2 1 6 + y 2 32 = 1

Esboçando essas curvas no plano cartesiano, vamos obter

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta