Função de Várias Variáveis
Considere a função
- Escreva a equação da curva de nível de que contém o ponto e da curva de nível que contém o ponto
- Mais geralmente, escreva a equação da curva de nível de que contém o ponto , com .
- Mostre que o valor de sobre a reta é constante, isto é, que está contida em um conjunto de nível de .
- Mostre que o valor de sobre a reta é constante, isto é, que está contida em um conjunto de nível de .
- Se, por um momento, representasse um lucro e você fosse um empresário, em qual reta você gostaria de estar: ou ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Para achar a curva de nível precisamos do valor de , como ele deu um ponto que a curva de nível está vamos trocar esse ponto na função e achar nosso , começando pelo ponto
Para achar a curva de nível vamos fazer
Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o
E temos nossa curva de nível.
Passo 2
Vamos fazer a mesma coisa para o outro ponto ,
Para achar a curva de nível vamos fazer
Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o
E temos nossa outra curva de nível.
Passo 3
Vamos fazer a mesma coisa de novo, só que dessa vez no ponto
Para achar a curva de nível vamos fazer
Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o
E temos nossa curva de nível. Você deve estar se perguntando onde entra aquela restrição, isso serve para vermos que o cara dentro do no valor de é positivo, e assim podemos ter o logaritmo sem problemas. Ele é positivo porque
Sacou?
Passo 4
Basta trocar esse valor de na função e ver se vai ser constante.
Que, por mais feio que seja, é uma constante.
Então essa reta é uma curva de nível.
Passo 5
Basta trocar esse valor de na função e ver se vai ser constante.
Que, por mais feio que seja, é uma constante.
Então essa reta é uma curva de nível.
Passo 6
Como a função representa lucro, queremos o maior valor de possível. Qual deles é maior?
Sabemos que
Isso porque
Subtrair não vai mudar o cara dentro do logaritmo, então a segunda reta vai ser melhor. A melhor situação é