UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Ditter Adolfo - 1ª Lista, Questão 6b
6) Esboce o gráfico das funções abaixo (onde ):
(b)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema queremos esboçar o gráfico da superfície formada pela equação .
Parece complicado? 😐
Para esboçar uma superfície que não conseguimos visualizar logo de cara como é seu comportamento, podemos usar algumas técnicas para nos ajudar.
Como por exemplo podemos encontrar curvas de níveis ou intersecções da superfície com um plano, assim, desenhando a curva formada no plano de intersecção podemos obter algo parecido com algumas estruturas da superfície e portanto, ter uma ideia de como é o gráfico de .
Sacou? Bora começar! 😎
Passo 2
A superfície que vamos esboçar é dada por
Fazendo , sendo o nível das curvas de níveis, temos
Simplificando...
Para satisfazer a primeira igualdade, só podemos definir para valores . Além disso, podemos definir que a equação das curvas de níveis são circunferências de raio
Ou seja, para
E para
Agora voltando para a primeira igualdade, vamos obter a curva de intersecção entre a superfície e o plano
Fazendo o mesmo para o plano
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 3
Esboçando cada curva obtida em seus devidos planos e níveis, temos
Assim, podemos ter uma noção de como a superfície se comporta no espaço e como ela se parece.
Assim, esboçando a superfície, temos
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
