Seja
a) Esboce a curva de nível de que corresponde ao nível . Em que pontos essa curva intercepta o eixo ?
Passo 1
a)
Ok, ele quer a curva de nível que tem . Então, tudo o que temos que fazer é pegar a função e igualá-la a :
E agora partiu ver que curva é essa! Vamos desenvolver melhor essa equação?
Dividindo tudo por ,
Passo 2
Agora, o que acha de completarmos o quadrado para o ? Só pensar que o coeficiente do é duas vezes o coeficiente do vezes o segundo termo do produto notável. Assim,
E pronto! Temos aí a equação de uma elipse, centrada em !
Passo 3
Agora, analisemos o que o enunciado realmente pediu: em que ponto essa curva corta o eixo ? Para saber disso, temos que fazer , e então teremos o ponto pedido :)
Tirando a raiz quadrada dos dois lados,
Passo 4
Mas tome muito cuidado agora! Encontramos os pontos e , certo? Não! Temos apenas o segundo, pois a origem não faz parte do domínio da função! Isso porque substituindo os valores na função temos uma divisão por zero.
Assim, temos apenas o ponto , pois a curva não toca a origem:
Passo 5
Coloquei direto a imagem da elipse, mas se você tiver alguma dúvida de como se esboça, é só lembrar da equação geral:
Então, como nosso e , seu centro está em . Aí para ver os semieixos, você pega, a partir do centro, e na direção e e na direção !
Resposta
a) Corta o eixo no ponto , apenas.