UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille - Segunda Lista de Exercícios, Questão 22a
22. Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:
a)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos obter algumas curvas de níveis da função e esboçar o gráfico dessa função.
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
As curvas de nível de uma função são conjuntos de pontos no plano onde a função tem um mesmo valor de . Ou seja, as curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação , onde é um valor do eixo .
Para plotar as curvas de nível de uma função, podemos utilizar um gráfico bidimensional no plano e traçar as curvas que correspondem a cada valor de da função.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos começar definindo alguns valores de para substituir na função
Podemos usar , e .
Para , temos
Perceba que essa equação é exatamente a equação da circunferência com raio
Só recapitulando, a equação genérica de uma circunferência é dada por onde e são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio dessa circunferência.
Portanto, essa equação resulta em uma circunferência de raio e centro em .
Plotando essa curva temos...
Entendeu essa parte? 😊
Passo 3
Agora vamos fazer a mesma coisa para
Nessa equação temos também uma circunferência centrada em e com raio .
Plotando essa curva, vamos obter
E por último, fazendo podemos adiantar que será a mesma circunferência só que com raio
Plotando essa curva em
Bacana, não é? 😁
Passo 4
E finalmente, podemos usar essas curvas de níveis para determinar o gráfico de em três dimensões.
Esboçando cada curva em seu respectivo nível de e estimando o comportamento da função entre um nível e outro, vamos chegar em
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
