Seja f x , y = x y   e   g x , y = x 2 + y ²

a) Determine e esboce a curva de nível de f que passe pelo ponto (1,1).

b) Determine e esboce a curva de nível de g que passe pelo ponto (1,1).

c) A afirmação “As curvas de nível de f e g dos itens anteriores são ortogonais no ponto (1,1)” é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.

Passo 1

a) Para descobrirmos como é a curva de nível, precisamos antes saer qual nosso k, ou seja, o valor de z naquela curva. Como a questão quer a curva que passe pelo ponto (1,1), teremos:

f 1,1 = k = 1 × 1 = 1

1 = x y

Isolando o y temos:

y = 1 x

Desenhando então a função 1 x

Tranquilinho, né? Bora pra letra b.

Passo 2

b) Fazendo a mesma coisa, mas agora com a g ( x , y )

g x , y = x 2 + y 2

g 1,1 = k = 1 2 + 1 2 = 2

k = 2

2 = x 2 + y 2

Isso aí nos dá uma circunferência de raio   2 .

Passo 3

c) “As curvas de nível de f e g dos itens anteriores são ortogonais no ponto (1,1)”

Para verificar isso, precisamos que o produto escalar dos vetores normais de g   e f no ponto ( 1,1 ) seja nulo!

Calculando então primeiramente o vetor normal de f no ponto 1,1 , que é fazendo o gradiente de f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = ( y , x )

E aplicando o ponto:

∇ f = ( 1,1 )

Fazendo o mesmo para g

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

∇ g = 2 x , 2 y

Aplicando ao ponto

∇ g = 2,2

Se calcularmos o produto escalar entre 1,1 e ( 2,2 ) :

1 × 2 + 1 × 2 = 4

Isso é diferente de zero, logo, as curvas não são ortogonais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)