Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.

f )   f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 9

Passo 1

Olá pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a função de três variáveis dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 9

Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função.

Beleza?!

Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?

Então, nada mais é do que o conjunto de pontos ( x , y , z ) que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos ( x , y , z ) que são restrição na nossa função.

Já as curvas de nível, aqui na verdade teremos superfícies de nível, pois temos uma função de 3 variáveis. Podemos calcular igualando a função f ( x , y , z ) a uma constante, tipo assim:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 = c

Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante c e esboçar a superfície formada.

Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as superfícies de nível!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, temos a função:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 9

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, pois sempre precisamos ter o radicando maior ou igual a zero. Assim:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 ≥ 0

x 2 + y 2 + z 2 ≥ 9

Ou seja, o nosso domínio é externo à esfera centrada em ( 0,0 , 0 ) e com raio igual a 9 = 3 . Na prática, significa que o nosso conjunto do domínio é todo o espaço do R 3 exceto pela região interna à esfera citada.

D f = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 9 }

Muito bom!

Passo 3

Indo agora para as superfícies de nível, basta fazermos:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 = c

Como queremos esboçar duas superfícies de nível, podemos começar fazendo c = 0 . Assim:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0

∴ x 2 + y 2 + z 2 = 9

Ou seja, a nossa primeira superfície de nível é a própria superfície da esfera centrada em ( 0,0 , 0 ) e raio 3 .

“Ue, mas não vimos que o domínio não inclui essa esfera. Se a esfera não está inclusa no domínio como podemos tê-la como uma superfície de nível?”

Então, de fato se o domínio não inclui uma região não pode ter nenhuma superfície de nível passando por ela.

Porém, aqui nesse caso, o domínio não inclui a região interna à esfera e aqui temos a superfície da esfera. Ou seja, tá tudo certinho, beleza?

Vamos agora tomar c = 1 . Daí:

x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 1

x 2 + y 2 + z 2 = 10

Logo, também se trata da superfície de uma esfera, centrada em ( 0,0 , 0 ) mas com raio 10 . Tranquilo?

É isso pessoal! Curtiram a solução? Responde AÍ!

Valeeuu!!

Resposta

Resposta no texto.