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Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

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Enunciado

Funções de várias variáveis

Dada a função f x ,   y = 5 - 25 x 2 + 5 y 2 .

Determine algebricamente e identifique as curvas de nível de f ( x ,   y ) .

Passo 1

Curvas de nível:

f x ,   y = k

f x , y = 5 - 25 x 2 + 5 y 2 = k

Show, antes da gente começar analisar as curvas de nível, precisamos primeiro achar o domínio das curvas. Como k é resultado de uma raiz,

k ≥ 0

Ok, pelo domínio, existem 2 situações possíveis para k :

  • k > 0
  • k = 0

Vamos calcular então

Passo 2

Se k > 0 ,

f x ,   y = k

⇒ 5 - 25 x 2 + 5 y 2 = k

5 - 25 x 2 + 5 y 2 = k 2

25 x 2 - 5 y 2 = 5 - k 2

Contudo, 5 - k 2 pode ser igual a zero, então temos analisar

Primeiro, temos que saber quando 5 - k 2 zera:

5 - k 2 = 0

k = ± 5

Porém, pelo domínio que a gente já cálculo, k tem que ser maior ou igual a 0, logo:

k =   5

Se o lado direito daquela equação acima for zero, então:

25 x 2 - 5 y 2 = 0

⇒ y = ± 5 x

E essas são as equações características de retas.

Se o lado direito da equação for diferente de zero então podemos dividir:

25 5 - k 2 x 2 - 5 5 - k 2 y 2 = 1

E essa é a equação característica da hipérbole.

Ou seja, quando k > 0   e   ≠ 5 , é a equação característica da hipérbole.

Passo 3

Se k = 0 ,

f x ,   y = 0

⇒ 5 - 25 x 2 + 5 y 2 = 0

5 - 25 x 2 + 5 y 2 = 0

25 x 2 - 5 y 2 = 5

5 x 2 - y 2 = 1

y 2 = 5 x 2 - 1

y = ± 5 x 2 - 1

E essas são as equações características de hibérboles.

Resposta

25 5 - k 2 x 2 - 5 5 - k 2 y 2 = 1 , se k > 0   e   ≠ 5   (hipérbole)

y = ± 5 x , se k > 0   e = 5 (retas)

y = ± 5 x 2 - 1 ,   se k = 0   e = 5 (hibérboles)