UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Marcos André - 1ª Lista de Exercícios, Questão 1b
Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.
Passo 1
E aí gente, tudo bom com vocês?
Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:
Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função.
Beleza?!
Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?
Então, nada mais é do que o conjunto de pontos que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos que são restrição na nossa função.
Já as curvas de nível podemos calcular igualando a função a uma constante, tipo assim:
Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante e esboçar a curva formada.
Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as curvas de nível!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, temos a função:
Analisando essa função, vemos que a única restrição possível está justamente na raiz quadrada. Pois, o radicando de uma raiz quadrada precisa sempre ser maior ou igual a zero. Assim, precisamos que:
Logo:
Então, temos:
Assim, vamos ter a seguinte conjunto para o domínio:
Esse conjunto pode ser representado no como:
Muito bom! Vamos para as curvas de nível!!
Passo 3
Como vimos no passo , pra determinarmos a equação das curvas de nível, basta fazermos:
Como queremos esboçar duas curvas de nível podemos escolher e . Vamos ter:
Para esboçar essa curva basta considerarmos o formato normal do gráfico da função , mas como que pode ser negativo, refletimos essa curva com relação ao eixo . Assim, vamos ter:
Perfeito! Já se tivermos , ficaremos com:
Teremos novamente um formato de curva bem parecido, mas a raiz ocorrerá em . Logo:
Prontinho pessoal! Com isso matamos a questão!
Muito obrigado pela atenção de vocês 😊
Resposta
Resposta no texto.