UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Marcos André - 1ª Lista de Exercícios, Questão 1a
Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo tranquilo com vocês?
Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:
Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função. Beleza?!
Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?
Então, nada mais é do que o conjunto de pontos que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos que são restrição na nossa função.
Já as curvas de nível podemos calcular igualando a função a uma constante, tipo assim:
Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante e esboçar a curva formada.
Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as curvas de nível!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, temos a função:
Massa! Analisando essa função, como se trata de uma fração a possível restrição que teríamos é quanto ao valor do denominador. Matematicamente, nunca podemos dividir por zero, assim esse denominador nunca pode ser nulo.
Logo, os pontos não podem ser do tipo:
Basicamente, pode assumir qualquer valor no , exceto os pontos que estão na reta:
Assim, podemos escrever o conjunto do domínio como:
Massa! Agora podemos esboçar esse conjunto. Como falamos antes, é todo exceto pela reta . Logo:
Assim, toda a nossa região exceto pela reta verde corresponde ao domínio de .
Passo 3
Por fim, vamos para as curvas de nível. Como vimos no passo , a equação de uma curva de nível é determinada por:
Já que precisamos determinar duas curvas de nível, podemos colocar e . Daí, vamos ter:
Se :
Daí, isolando :
Pra ficar mais evidente, podemos fazer a mudança de variável:
Assim:
É a equação de uma hipérbole! Esboçando a curva, temos:
Excelente!
Já quando , vem:
Que, fazendo:
Nos dá:
Que também é uma hipérbole, que pode ser esboçada como:
Prontinho! Assim finalizamos a nossa questão 😊
Até a próxima pessoal!!
Resposta
Resposta no texto.