USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 5
Considere a função
Então
a) a curva de nível de está contida em uma parábola.
b) a curva de nível de é uma elipse.
c) a curva de nível de é uma hipérbole.
d) a curva de nível de está contida em uma elipse.
e) a curva de nível de é um conjunto vazio.
Passo 1
Eai galerinha, beleza? Bora resolver mais uma questão!!!
O enunciado forneceu uma função de duas variáveis:
Note que essa função não está definida em . Queremos analisar as curvas de nível dessa função. Nas alternativas aparecem os níveis e . Vamos fazer primeiro para a curva de nível .
Sempre que queremos achar a curva de nível de uma função, igualamos a função a :
Nesse caso, queremos a curva de nível , de modo que :
Logo,
Portanto,
Ou ainda,
Com isso,
Passo 2
Para identificar a curva, temos que completar quadrados para as variáveis que aparecem ao quadrado! O ideia é bem simples, devemos somar e subtrair um número para obter um quadrado perfeito:
Vamos usar essa ideia para a expressão:
Mas note que
Portanto,
Assim, a equação da curva de nível é
Ou ainda
Como essa equação é do tipo , trata-se de uma parábola! Mas note uma coisa: o ponto pertence a essa curva:
Assim, a curva de nível não é toda a parábola: devemos tirar a origem! Assim, a alternativa A é perfeita pois diz que a curva de nível está contida em uma parábola, mas não é a parábola toda...
Passo 3
Vamos ver agora qual é a curva de nível de :
Assim,
Logo,
Com isso,
Portanto,
Passo 4
Assim, como feito no passo 2, completamos quadrados:
Assim,
Portanto,
Essa curva é do tipo
Trata-se de uma hipérbole. Mas note que a origem pertence a essa curva também! Então a curva de nível não é a hipérbole toda, por isso a alternativa C não é correta!
Pode assinalar a alternativa A sem dó 😉
Resposta
Alternativa A.