UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille - Segunda Lista de Exercícios, Questão 22d
22. Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:
d)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema queremos obter algumas curvas de níveis da função e esboçar o gráfico dessa função.
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
As curvas de nível de uma função são conjuntos de pontos no plano onde a função tem um mesmo valor de . Ou seja, as curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação , onde é um valor do eixo .
Para plotar as curvas de nível de uma função, podemos utilizar um gráfico bidimensional no plano e traçar as curvas que correspondem a cada valor de da função.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos começar definindo alguns valores de para substituir na função
Podemos usar , e .
Fazendo , temos
Então genericamente as curvas de níveis vão ser retas como podemos ver na equação.
Para , vamos obter
Nesse nível, temos apenas uma reta que passa pela origem do sistema e corta os quadrantes ímpares ao meio.
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora vamos fazer para
Logo, nesse nível vamos ter duas retas
Plotando essas retas, temos
Para o nível , temos
E novamente vamos ter duas retas dadas por
Ou seja
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 4
E finalmente, podemos usar essas curvas de níveis para determinar o gráfico de em tr��s dimensões.
Esboçando cada curva em seu respectivo nível de e estimando o comportamento da função entre um nível e outro, vamos chegar em
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
