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Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 14b

14. Os pontos de uma chapa plana de metal estão marcados no plano- x , y de modo que a temperatura T no ponto x , y é inversamente proporcional à distância do ponto a origem.

(b) Descreva as isotérmicas, isto é, as curvas de nível da função temperatura.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Anteriormente nesse problema encontramos que a função T é dada por

T x , y = 1 x 2 + y 2

E agora o que temos que fazer é calcular algumas curvas isotérmicas dessa função.

Lembra como fazemos isso? 😬

Para esboçar as curvas isotérmicas de uma função temperatura, vamos usar o mesmo método de esboço de curvas de níveis...

Vamos substituir T x , y por uma variavel T de temperatura e vamos atribuir valores para T que serão nossas temperaturas.

Com isso vamos obter equações bidimensionais e esboçando essas curvas no plano x y vamos obter as curvas isotérmicas...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Fazendo T x , y = T , temos

T x , y = 1 x 2 + y 2 = T

Como x 2 + y 2 = r 2 representa uma circunferência, então se isolarmos x 2 + y 2 em um lado da igualdade, vamos obter.

x 2 + y 2 = 1 T

Dessa forma, nossas curvas isotérmicas serão circunferências de raio 1 / T ...

Por exemplo, para T = 1

x 2 + y 2 = 1 1 = 1

Para T = 10

x 2 + y 2 = 1 10

Para T = 0,1

x 2 + y 2 = 1 0,1 = 10

E para T = 3

x 2 + y 2 = 1 3

Esboçando essas curvas no plano x y , vamos obter

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta