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Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 1.6

1.6. Considere a curva γ t = sin ⁡ t , sec 2 ⁡ t - 1 , t ∈ ] - π / 2 , π / 2 [ . A imagem de γ está contida na curva de nível

a. c = 0 da função f x , y = y 1 - x 2 ;

b. c = - 1 da função f x , y = y + 1 x 2 - 1 ;

c. c = 2 da função f x , y = y + 1 x 2 - 1 ;

d. c = 0 da função f x , y = y 1 - x 2 + x 2 ;

e. c = - 1 da função f x , y = y + 1 1 - x 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter qual a curva de nível que contém a curva γ t = sin ⁡ t , sec 2 ⁡ t - 1 , t ∈ ] - π / 2 , π / 2 [ .

Tem alguma ideia de como fazemos isso? 🤔

Nossas opções seguem o esquema c = a onde a é uma constante e uma função f x , y .

O que vamos fazer é igualar f x , y = c e aplicar a parametrização da curva γ t , assim, a curva que satisfazer a igualdade será a curva que contêm γ t .

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Começando pelo item a), temos c = 0 da função f x , y = y 1 - x 2

Igualando f x , y = c , temos

f x , y = c

y 1 - x 2 = 0

Aplicando a parametrização de γ t fazendo x = sin ⁡ t e y = sec 2 ⁡ t - 1

sec 2 ⁡ t - 1 1 - sin 2 ⁡ t = 0

sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 + sin 2 ⁡ t = 0

Se sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t , então

1 c o s 2 t - sin 2 ⁡ t c o s 2 t - 1 + sin 2 ⁡ t = 0

E como tan ⁡ t = sin ⁡ t cos ⁡ t ...

1 c o s 2 t - tan 2 ⁡ t - 1 + sin 2 ⁡ t = 0

1 - c o s 2 t tan 2 ⁡ t - c o s 2 t + c o s 2 t sin 2 ⁡ t c o s 2 t = 0

1 - c o s 2 t - sin 2 ⁡ t + c o s 2 t sin 2 ⁡ t c o s 2 t = 0

cos ⁡ t + 1 cos ⁡ t - 1 sin ⁡ t + 1 sin ⁡ t - 1 c o s 2 t = 0

Portanto, a solução dessa curva é

cos ⁡ t + 1 = 0 → t = π

cos ⁡ t - 1 = 0 → t = 0

sin ⁡ t + 1 = 0 → t = 3 π 2

sin ⁡ t - 1 = 0 → t = π 2

Aqui já podemos perceber que essa igualdade não será satisfeita dentro do intervalo de t ∈ ] - π / 2 , π / 2 [ ...

Passo 3

No item b) temos c = - 1 da função f x , y = y + 1 x 2 - 1

f x , y = c

y + 1 x 2 - 1 = - 1

Aplicando a parametrização...

sec 2 ⁡ t - 1 + 1 sin 2 ⁡ t - 1 = - 1

sec 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 = - 1

Substituindo sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

1 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 = - 1

sin 2 ⁡ t - 1 = - cos 2 ⁡ t

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Legal, né! Essa relação encaixou direitinho! Então a resposta correta é a letra b)!

Mas vamos verificar as outras opções...

Passo 4

No item c) foi dado que c = 2 da função f x , y = y + 1 x 2 - 1

f x , y = c

y + 1 x 2 - 1 = 2

Aplicando a parametrização...

sec 2 ⁡ t - 1 + 1 sin 2 ⁡ t - 1 = 2

sec 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 = 2

Substituindo sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

1 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 = 2

sin 2 ⁡ t - 1 = 2 cos 2 ⁡ t

sin 2 ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t = 1

Se sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , então sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t

1 - cos 2 ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t = 1

- 3 cos 2 ⁡ t = 0

cos 2 ⁡ t = 0

Portanto, t = ± π 2

A igualdade não foi satisfeita para o nosso intervalo, não é? (como t pertence ao intervalo aberto ] - π / 2 , π / 2 [ , t = π / 2 e t = - π / 2 não valem para nossa solução)

Passo 5

Para o item d) foi dado a curva c = 0 da função f x , y = y 1 - x 2 + x 2

f x , y = c

y 1 - x 2 + x 2 = 0

Aplicando a parametrização x = sin ⁡ t e y = sec 2 ⁡ t - 1

sec 2 ⁡ t - 1 1 - sin 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 0

sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 + sin 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 0

sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 + 2 sin 2 ⁡ t = 0

Fazendo sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

1 cos 2 ⁡ t - 1 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 1 + 2 sin 2 ⁡ t = 0

1 cos 2 ⁡ t - tan 2 ⁡ t - 1 + 2 sin 2 ⁡ t = 0

1 - cos 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t - cos 2 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t = 0

Aqui podemos perceber que as soluções serão parecidas com as soluções do item a), então já vamos partir pra próxima.

Passo 6

Por fim, no item e) temos c = - 1 da função f x , y = y + 1 1 - x 2

f x , y = c

y + 1 1 - x 2 = - 1

Aplicando a parametrização...

sec 2 ⁡ t - 1 + 1 1 - sin 2 ⁡ t = - 1

sec 2 ⁡ t 1 - sin 2 ⁡ t = - 1

Como de praxe, fazemos sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t

1 cos 2 ⁡ t 1 - sin 2 ⁡ t = - 1

1 - sin 2 ⁡ t = - cos 2 ⁡ t

sin 2 ⁡ t - cos 2 ⁡ t = 1

Portanto, a alternativa correta é a letra b)!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

b)