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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a nossa integral

∫ cot 4 ⁡ x d x = ∫ cot 2 ⁡ x cot 2 ⁡ x d x

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica cot 2 ⁡ x = csc 2 ⁡ x - 1

∫ cot 4 ⁡ x d x = ∫ cot 2 ⁡ x ( csc 2 ⁡ x - 1 ) d x

∫ cot 4 ⁡ x d x = ∫ cot 2 ⁡ x csc 2 ⁡ x d x - ∫ cot 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Pronto, arranjada a integral, vamos usar a técnica da substituição para resolver

u = cot ⁡ x

d u = - csc 2 ⁡ x   d x

Então ficamos com

∫ cot 4 ⁡ x d x = - ∫ u 2 d x - ∫ ( csc 2 ⁡ x - 1 ) d x

∫ cot 4 ⁡ x d x = - ∫ u 2 d x - ∫ csc 2 ⁡ x d x + ∫ d x

∫ cot 4 ⁡ x d x = - u 3 3 - cot ⁡ x + x + C

Refazendo a substituição

∫ cos 5 ⁡ x d x = - cot 3 ⁡ x 3 + cot ⁡ x + x + C

Prontinho!

Resposta

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