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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos começar! De cara, podemos tentar utilizar a identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Aplicando na nossa integral

∫ cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x ( 1 - sen 2 ⁡ x ) sen 2 ⁡ x d x

Passo 2

Agora, podemos usar um método da substituição para simplificar nossa integral

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x  

Substituindo na nossa integral

∫ cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - u 2 u 2 d u

E podemos separar em duas integrais

∫ cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = ∫ u 2 d u - ∫ u 4 d u

Passo 3

Integrando nossa expressão

∫ cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = u 3 3 - u 5 5

Desfazendo a substituição

u = sen ⁡ x

∫ cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = sen 3 ⁡ x 3 - sen 5 ⁡ x 5

Passo 4

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = sen 3 ⁡ π 2 3 - sen 5 ⁡ π 2 5 - sen 3 ⁡ ( 0 ) 3 + sen 5 ⁡ 0 5

Como sen ⁡ 0 = 0

∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ x sen 2 ⁡ x d x = 1 3 - 1 5 = 2 15

Resposta

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