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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P1 2015.1, Questão 1a

Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponda:

a) ∫ 1 3 + sin ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral e verificar se ela converge ou não, caso precise. Como nós temos uma integral indefinida, não vamos precisar avaliar a convergência da função pra determinados valores. Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando nossa integral:

∫ 1 3 + sin ⁡ ( 2 x ) d x

Não dá pra gente calcular ela assim pelos métodos tradicionais, então vamos tentar manipular um pouco essa função do integrando. Começamos fazendo:

1 3 + sin ⁡ ( 2 x ) = 1 2 + 1 + sin ⁡ ( 2 x )

Mas pela identidade trigonométrica 1 + sin ⁡ ( 2 x ) = sin ⁡ x cos ⁡ x 2 , temos:

1 2 + sin ⁡ x cos ⁡ x 2

Dividindo todo mundo por cos 2 ⁡ x :

1 cos 2 ⁡ x 2 1 cos 2 ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x

Como 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x , temos:

sec 2 ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x + sin ⁡ x cos ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x

Além disso, sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x e sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x , logo:

sec 2 ⁡ x 2 + 2 tan 2 ⁡ x + tan ⁡ x + 1 2 = sec 2 ⁡ x 2 + 2 tan 2 ⁡ x + tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x + 1

= sec 2 ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x + 3

Passo 3

Então, nossa integral se transformou em:

∫ sec 2 ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x + 3 d x

Podemos chamar tan ⁡ x = u pra tentar facilitar nossos cálculos. Assim, d u = sec 2 ⁡ x d x e temos:

∫ d u 3 u 2 + 2 u + 3 = 1 3 ∫ d u u 2 + 2 3 u + 1

Completando o quadrado no denominador:

1 3 ∫ d u u 2 + 2 ∙ 1 3 u + 1 3 2 + 8 9 = 1 3 ∫ d u u + 1 3 2 + 2 2 3 2

Repare que agora nós temos uma integral do tipo:

∫ d t t 2 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ t a + C

Nesse caso, a = 2 2 3 , t = u + 1 3 e C é uma constante de integração. Então, nosso resultado será:

1 3 ∫ d u u + 1 3 2 + 2 2 3 2 = 1 3 ∙ 1 2 2 3 arctan ⁡ u + 1 3 2 2 3 + C

= 1 2 2 arctan ⁡ 3 u + 1 2 2 + C

A gente só não pode esquecer que nossa variável inicial é x e que nós substituímos tan ⁡ x = u , então temos:

∫ 1 3 + sin ⁡ ( 2 x ) d x = 1 2 2 arctan ⁡ 3 tan ⁡ x + 1 2 2 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 2 arctan ⁡ 3 tan ⁡ x + 1 2 2 + C

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