UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1m
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
Mas você já sabe que sem manipular esse integrando, não vai rolar integrar nada! Eu vou te sugerir uma coisa: sempre que tiver cotangente/cossecante com expoente par usa a identidade trigonométrica
E lembra sempre que a derivada da cotangente é
Assim você vai ter a função e sua derivada no integrando e usar a técnica de substituição simples para integrar!
Então a ideia aqui é transformar essa cotangente em senos e cossenos, usar a identidade trigonométrica e integrar pelo método da substituição
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral indefinida é a seguinte:
Então vamos primeiro manipular esse integrando. Separando aquela cossecante na quarta em um produto de duas cossecantes ao quadrado:
Em uma delas podemos usar a identidade trigonométrica
E deixamos a outra para usar como (no futuro não tão distante)
Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
Agora vamos partir para a substituição! Como comentei lá no passo 1, em uma integral de configuração igual a nossa, é interessante usarmos
Uma vez que
E temos essa expressão no integrando. Fazendo as substituições temos o seguinte:
E aí a integral indefinida fica assim:
Uma integral polinomial apenas! Agora sim, #partiu integrar
E voltando para :
Terminou? Não!
Calma, agora só falta aplicar nos limites de integração! Lembra que temos uma integral definida!
Passo 4
Nossa integral era:
Agora vamos usar o resultado do passo anterior e aplicar os limites:
Aí temos
Simplificando temos o resultado final:
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?